Группа Тейта — Шафаревича

Группа Тейта — Шафаревича — математическое понятие, используемое в диофантовой, алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел. Независимо введено в совместной работе С. Ленга, Дж. Тейта ("Principal homogeneous spaces over abelian varieties", American Journal of Mathematics, 1958) и И. Р. Шафаревича ("Группы главных однородных алгебраических многообразий", Доклады АН СССР, 1959).

Группа Тейта — Шафаревича Ш(A/K) — это абелево многообразие A над числовым полем K, состоящее из тех элементов группы Вейля — Шатле^[en] WC(A/K) = H¹(G_K, A), которые являются тривиальными во всех расширениях поля K (то есть p-адических расширениях K, а также его вещественных и комплексных расширений). В терминах когомологий Галуа^[en], это можно представить в виде

$\underset{v}{\bigcap <!--\; \bigcap \; -->}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(H^1(G_K,A)\to <!--\; \to \; -->H^1(G_{K_v},A_v)).$$\bigcap _{v}\mathrm {ker} (H^{1}(G_{K},A)\rightarrow H^{1}(G_{K_{v}},A_{v})).$

Обозначение Ш(A/K) введено Джоном Касселсом, кириллическая буква "Ш" используется в честь И. Р. Шафаревича.

СсылкиПравить

• Cassels, John William Scott (1962), Arithmetic on curves of genus 1. III. The Tate–Šafarevič and Selmer groups, Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series Т. 12: 259–296, ISSN 0024-6115, DOI 10.1112/plms/s3-12.1.259 
• Cassels, John William Scott (1962b), Arithmetic on curves of genus 1. IV. Proof of the Hauptvermutung, Journal für die reine und angewandte Mathematik Т. 211 (211): 95–112, ISSN 0075-4102, doi:10.1515/crll.1962.211.95, <http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002179873>  Архивная копия от 17 мая 2018 на Wayback Machine
• Cassels, John William Scott (1991), Lectures on elliptic curves, vol. 24, London Mathematical Society Student Texts, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41517-0, doi:10.1017/CBO9781139172530, <https://books.google.com/books?id=zgqUAuEJNJ4C>  Архивная копия от 24 июня 2021 на Wayback Machine
• Hindry, Marc & Silverman, Joseph H. (2000), Diophantine geometry: an introduction, vol. 201, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98981-5 
• Greenberg, Ralph (1994), Iwasawa Theory and p-adic Deformation of Motives, in Serre, Jean-Pierre; Jannsen, Uwe & Kleiman, Steven L., Motives, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1637-0 
• Lang, Serge & Tate, John (1958), Principal homogeneous spaces over abelian varieties, American Journal of Mathematics Т. 80 (3): 659–684, ISSN 0002-9327, DOI 10.2307/2372778 
• Lind, Carl-Erik (1940). Untersuchungen über die rationalen Punkte der ebenen kubischen Kurven vom Geschlecht Eins (Thesis). 1940. University of Uppsala. 97 pp. MR 0022563. Архивировано из оригинала 2021-06-24. Дата обращения 2019-07-12. Используется устаревший параметр |deadlink= (справка)
• Poonen, Bjorn & Stoll, Michael (1999), The Cassels-Tate pairing on polarized abelian varieties, Annals of Mathematics, Second Series Т. 150 (3): 1109–1149, ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/121064 
• Rubin, Karl (1987), Tate-Shafarevich groups and L-functions of elliptic curves with complex multiplication, Inventiones Mathematicae Т. 89 (3): 527–559, ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/BF01388984 
• Selmer, Ernst S. (1951), The Diophantine equation ax³+by³+cz³=0, Acta Mathematica Т. 85: 203–362, ISSN 0001-5962, DOI 10.1007/BF02395746 
• Шафаревич, И. Р. (1959), Группы главных однородных алгебраических многообразий, Докл. АН СССР Т. 124: 42–43, ISSN 0002-3264 
• Stein, William A. (2004), Shafarevich-Tate groups of nonsquare order, Modular curves and abelian varieties, vol. 224, Progr. Math., Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, с. 277–289  Архивная копия от 10 августа 2017 на Wayback Machine
• Swinnerton-Dyer, P. (1967), The conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer, and of Tate, in Springer, Tonny A., Proceedings of a Conference on Local Fields (Driebergen, 1966), Berlin, New York: Springer-Verlag, с. 132–157 
• Tate, John (1958), WC-groups over p-adic fields, vol. 13, Séminaire Bourbaki; 10e année: 1957/1958, Paris: Secrétariat Mathématique, <http://www.numdam.org/item?id=SB_1956-1958__4__265_0>  Архивная копия от 27 июня 2020 на Wayback Machine
• Tate, John (1963), Duality theorems in Galois cohomology over number fields, Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Stockholm, 1962), Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, с. 288–295  Архивная копия от 17 июля 2011 на Wayback Machine
• Weil, André (1955), On algebraic groups and homogeneous spaces, American Journal of Mathematics Т. 77 (3): 493–512, ISSN 0002-9327, DOI 10.2307/2372637 
• Колывагин, В. А. (1988), Конечность E(Q) и Ш(E,Q) для подкласса кривых Вейля, Изв. АН СССР. Сер. матем. Т. 52 (3): 522–540, 670–671, 954295, ISSN 0373-2436