Группа Ри

Группы Ри — это группы лиева типа над конечным полем, которые построил Ри из исключительных автоморфизмов диаграмм Дынкина, которые обращают направление кратных рёбер, что обобщает группы Судзуки^[en], которые нашёл Судзуки, используя другой метод. Группы были последними открытыми в бесконечных семействах конечных простых групп^[en].

В отличие от групп Штейнберга, группы Ри не задаются точками редуктивной алгебраической группы, определённой над конечным полем. Другими словами, нет никакой «алгебраической группы Ри», связанной с группами Ри таким же образом, каким (скажем) унитарные группы связаны с группами Штейнберга. Однако существуют некоторые экзотические псевдоредуктивные алгебраические группы^[en] над несовершенными полями, построение которых связано с построением групп Ри, так как они используют те же экзотические автоморфизмы диаграммы Дынкина, которые меняют длины корней.

Титс определил группы Ри над бесконечными полями характеристики 2 и 3. Титс и Хи ввели группы Ри бесконечномерных обобщённых алгебр Каца-Муди^[en].

ПостроениеПравить

Если X является диаграммой Дынкина, Шевалле построил расщепляемые алгебраические группы, соответствующие X, в частности, дающие группы X(F) со значениями в поле F. Эти группы имеют следующие автоморфизмы:

• Любой автоморфизм $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$  поля F порождает эндоморфизм ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}$$\alpha _{\sigma }$  группы X(F)
• Любой автоморфизм $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  диаграммы Дынкина порождает автоморфизм ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$$\alpha _{\pi }$  группы X(F).

Группы Штейнберга и Группы Шевалле можно построить как фиксированные точки эндоморфизма X(F)для алгебраического замыкания поля F. Для групп Шевалле автоморфизм является эндоморфизмом Фробениуса группы F, в то время как для групп Штейнберга автоморфизм является эндоморфизмом Фробениуса, помноженным на автоморфизм диаграммы Дынкина.

Над полями характеристики 2 группы B₂(F) и F₄(F) и над полями характеристики 3 группы G₂(F) имеют эндоморфизм, квадрат которого является эндоморфизмом ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$$\alpha _{\varphi }$ , связанным с эндоморфизмом Фробениуса $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  поля F. Грубо говоря, этот эндоморфизм ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$$\alpha _{\pi }$  приходит из автоморфизма порядка 2 диаграммы Дынкина, где игнорируется длина корней.

Предположим, что поле F имеет эндоморфизм $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$ , квадрат которого является эндоморфизмом Фробениуса: ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_2=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\sigma _{2}=\varphi$ . Тогда группа Ри определяется как группа элементов g из X(F), таких что ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}(g)={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}(g)$$\alpha _{\pi }(g)=\alpha _{\sigma }(g)$ . Если поле F совершенно, то ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$$\alpha _{\pi }$  и ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$$\alpha _{\varphi }$  являются автоморфизмами, а группа Ри является группой фиксированных точек инволюции ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}/{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$$\alpha _{\varphi }/\alpha _{\pi }$  на X(F).

В случае, когда F является конечным полем порядка p^k (с p = 2 или 3), существует эндоморфизм с квадратом Фробениуса в точности, когда k = 2n + 1 нечётно и в этом случае он единственнен. Таким образом, это даёт конечные группы Ри как подгруппы B₂(2²ⁿ⁺¹), F₄(2²ⁿ⁺¹) и G₂(3²ⁿ⁺¹), фиксированные по инволюции.

Группы Шевалле, группы Штейнберга и группы РиПравить

Связь между группами Шевалле, группами Штейнберга и группами Ри примерно такая. Если дана диаграмма Дынкина X, Шевалле построил групповую схему над целыми числами Z, значения которой над конечными полями являются группами Шевалле. В общем случае можно взять фиксированные точки эндоморфизма $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  группы X(F), где F — алгебраическое замыкание конечного поля, такое, что некоторая степень $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  является некоторой степенью эндоморфизма Фробениуса $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ . Возможны три случая

• Для групп Шевалле $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}={\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^n$$\alpha =\varphi ^{n}$  для некоторого положительного целого n. В этом случае группа фиксированных точек является группой точек X, определённых конечным полем.
• Для групп Штейнберга ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^m={\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^n$$\alpha ^{m}=\varphi ^{n}$  для некоторых положительных целых m и n, при этом m делит n и m > 1. В этом случае группа фиксированных точек является также группой точек кручёной (квазирасщеплённой) формы группы X, определённой над конечным полем.
• Для групп Ри, ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^m={\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^n$$\alpha ^{m}=\varphi ^{n}$  для некоторых положительных целых m, n, при этом m не делит n. На практике m=2 и n нечётно. Группы Ри не задаются как точки некоторой связной алгебраической группы со значениями в поле. Они являются фиксированными точками порядка m=2 автоморфизмов группы, определённой над полем порядка pⁿ с нечётным n и нет соответствующего поля порядка p^n/2.

Группы Ри типа ²B₂Править

Основная статья: Группы Судзуки

Группы Ри типа ²B₂ первым нашёл Судзуки, используя другой подход, и они обычно называются группами Судзуки^[en]. Ри заметил, что их можно построить из групп типа B₂ при использовании варианта построения Стайнберга. Ри понял, что похожее построение можно применить к диаграммам Дынкина F₄ и G₂, что приводит к двум новым семействам конечных простых групп|.

Группы Ри типа ²G₂Править

Группы Ри типа ²G₂(3²ⁿ⁺¹) ввёл Ри, который показал, что они все просты, за исключением первой группы ²G₂(3), которая изоморфна группе автоморфизмов SL₂(8). Уилсон дал упрощённое построение групп Ри как автоморфизмы 7-мерного векторного пространства над полем с 3²ⁿ⁺¹ элементами, сохраняющими билинейную форму, трилинейную форму и билинейное произведение.

Группа Ри имеет порядок $q^3(q^3+1)(q-<!--\; -\; -->1)$$q^{3}(q^{3}+1)(q-1)$ , где $q=3^{2n+1}$$q=3^{2n+1}$ 

Мультипликатор Шура тривиален для n ≥ 1 и для ²G₂(3).

Внешняя группа автоморфизмов^[en] является циклической и имеет порядок $2n+1$$2n+1$ .

Группа Ри иногда обозначается как Ree(q), R(q) или ${\mathrm{E}}_2^{\ast <!--\; \ast \; -->}(q)$$\mathrm {E} _{2}^{*}(q)$ 

Группа Ри ${}^2{\mathrm{G}}_2(q)$$^{2}\mathrm {G} _{2}(q)$  имеет дважды транзитивное перестановочное представление^[en] на $q^3+1$$q^{3}+1$  точках и действует как автоморфизмы $\mathrm{S}(2,q+1,q^3+1)$$\mathrm {S} (2,q+1,q^{3}+1)$  системы Штейнера. Она также действует в 7-мерном векторном пространстве над полем с q элементами, будучи подгруппой G₂(q).

2-Силовские подгруппы групп Ри являются абелевыми с порядком 8. Теорема Уолтера^[en] показывает, что только другие неабелевы конечные простые группы с абелевыми силовскими 2-подгруппами являются проективными специальными линейными группами в размерности 2 и группами Янко J1^[en]. Эти группы сыграли также роль в открытии первой современной спорадической группы. Они имеют централизаторы инволюции вида Z/2Z × PSL₂(q) и при исследовании групп с централизатором инволюции похожего вида $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\times <!--\; \times \; -->{\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(5)$$\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \times \mathrm {PSL} _{2}(5)$  Янко нашёл спорадическую группу J₁. Клейдман обнаружил их максимальные подгруппы.

Группы Ри типа ²G₂ исключительно трудно описывать. Томпсон изучал эту проблему и смог показать, что структура такой группы определяется некоторым автоморфизмом $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$  конечного поля характеристики 3, и если квадрат этого автоморфизма является автоморфизмом Фробениуса, то группа является группой Ри. Он также дал некоторые сложные условия, которым удовлетворяет автоморфизм $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$ . Наконец, Бомбиери использовал теорию исключения^[en], чтобы показать, что условия Томпсона подразумевает, что ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2=3$$\sigma ^{2}=3$  во всех, кроме 178 небольших случаев, которые были исключены с помощью компьютера (Эндрю Одлыжко^[en] и Хант). Бомбиери узнал об этой задаче, прочитав статью о классификации Горенстейна, который предположил, что кто-то со стороны, не из теоретиков групп, поможет решить эту проблему. Ангеар дал объединённую сводку решения этой проблемы Томпсоном и Бомбиери.

Группы Ри типа ²F₄Править

Группы Ри типа ${}^2{\mathrm{F}}_4(2^{2n+1})$$^{2}\mathrm {F} _{4}(2^{2n+1})$  ввёл Ри. Они являются простыми, за исключением первой ${}^2{\mathrm{F}}_4(2)$$^{2}\mathrm {F} _{4}(2)$ , для которой Титс показал, что она имеет простую подгруппу индекса 2, которая теперь известна как группа Титса. Уилсон дал упрощённое построение групп Ри как симметрии 26-мерного пространства над полем порядка 2²ⁿ⁺¹, сохраняющего квадратичную форму, кубическую форму и частичное умножение.

Группа Ри ${}^2{\mathrm{F}}_4(2^{2n+1})$$^{2}\mathrm {F} _{4}(2^{2n+1})$  имеет порядок $q^{12}$$q^{12}$  $(q^6+1)$$(q^{6}+1)$  $(q^4-<!--\; -\; -->1)$$(q^{4}-1)$  $(q^3+1)$$(q^{3}+1)$  $(q-<!--\; -\; -->1)$$(q-1)$  где $q=2^{2n+1}$$q=2^{2n+1}$ . Мультипликатор Шура тривиален. Группа внешних автоморфизмов^[en] является циклической с порядком $2n+1$$2n+1$ .

Эти группы Ри имеют необычные свойства, такие, что группа Коксетера пары (B, N) не является кристаллографической — это диэдральная группа порядка 16. Титс показал, что все многоугольники Муфанга^[en] получаются из групп Ри типа ${}^2{\mathrm{F}}_4$$^{2}\mathrm {F} _{4}$ .

См. такжеПравить

• Список конечных простых групп^[en]

СсылкиПравить

• ATLAS: Ree group R(27) Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine