Горизонт Киллинга

В физике горизонт Киллинга — это нулевая гиперповерхность^[en], определяемая обращением в нуль нормы поля Киллинга (оба названы в честь Вильгельма Киллинга).

Плоское пространство-времяПравить

В пространстве-времени Минковского, в псевдодекартовых координатах $(t,x,y,z)$$(t,x,y,z)$  с сигнатурой $(+,-<!--\; -\; -->,-<!--\; -\; -->,-<!--\; -\; -->),$$(+,-,-,-),$  пример горизонта Киллинга представлен ускорением Лоренца (вектор Киллинга пространства-времени)

$V=x{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_t+t{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_x.$$V=x\,\partial _{t}+t\,\partial _{x}.$ 

Площадь нормы $V$$V$  равен

$g(V,V)=x^2-<!--\; -\; -->t^2=(x+t)(x-<!--\; -\; -->t).$$g(V,V)=x^{2}-t^{2}=(x+t)(x-t).$ 

Следовательно, $V$$V$  имеет значение NULL только на гиперплоскостях уравнений

$x+t=0,\text{ и }x-<!--\; -\; -->t=0,$$x+t=0,{\text{ и }}x-t=0,$ 

так, что вместе взятые, они являются горизонтами Киллинга, созданными $V$$V$ .

С горизонтом Киллинга связана геометрическая величина, известная как поверхностная гравитация, $\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}$$\kappa$ . Если поверхностная гравитация исчезает, горизонт Киллинга называется вырожденным.

Горизонты Киллинга чёрной дырыПравить

Точные метрики чёрной дыры, такие как метрика Керра — Ньюмана, содержат горизонты Киллинга, которые совпадают с их эргосферой. Для этого пространства-времени горизонт Киллинга расположен в

$r=r_e:=M+\sqrt{M^2-<!--\; -\; -->Q^2-<!--\; -\; -->a^2{\cos }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}.$$r=r_{e}:=M+{\sqrt {M^{2}-Q^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}.$ 

В обычных координатах за пределами горизонта Киллинга поле $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}/\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t$$\partial /\partial t$  вектора Киллинга подобно времени, а внутри — подобно пространству. Температура излучения Хокинга связана с поверхностной гравитацией $c^2\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}$$c^{2}\kappa$  на $T_H=\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}c\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{k}_B}$$T_{H}={\frac {\hbar c\kappa }{2\pi k_{B}}}$  с :$k_B$$k_B$ .

Космологические горизонты КиллингаПравить

Пространство Де Ситтера имеет горизонт Киллинга радиуса $r=\sqrt{3/\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}$$r={\sqrt {3/\Lambda }}$ , который испускает тепловое излучение при температуре $T=(1/2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})\sqrt{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}/3}$$T=(1/2\pi ){\sqrt {\Lambda /3}}$ .