Гомология (проективная геометрия)

Гомоло́гия — проективное преобразование проективной плоскости, которое оставляет неподвижными все точки некоторой прямой $l$$l$, называемой осью гомологии. Если гомология не является тождественным отображением, то все прямые, проходящие через любую пару различных соответствующих точек, также проходят через некоторую точку $S$$S$, являющуюся неподвижной и называемую центром гомологии. Если центр находится на оси гомологии, то она называется параболической, особенной, сдвигом или элацией, если нет, то гиперболической или неособенной. В некоторых книгах гомологией называют только гиперболические гомологии, а сдвиги и тождественное отображение к ней не относят.

Гиперболическая гомология с осью $I$$I$ и центром $S$$S$. Показано построение точки $B^{\prime }$$B'$, соответствующей точке $B$$B$, если дана пара соответствующих точек $A,A^{\prime }$$A,A'$.

Пусть $A$$A$ — точка, не являющаяся неподвижной, $A^{\prime }$$A'$ — её образ, а $S$$S$ — центр гиперболической гомологии. Если $M$$M$ — точка пересечения прямой $AS$$AS$ с осью гомологии, то двойное отношение $(SM,A{A}^{\prime })$$(SM,AA')$ не зависит от выбора точки $A$$A$ и называется модулем или константой гомологии. Гомология с константой, равной −1, называется гармонической и является инволюцией.

ЛитератураПравить

• Кокстер Г. С. М. Действительная проективная плоскость. — М.: Физматгиз, 1959
• Кокстер Г. С. М. Введение в геометрию. — М.: Наука, 1966
• Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии. — М.: Мир, 1970.
• J. G. Semple, G. T. Kneebone. Algebraic projective geometry. — Oxford University Press, 1952.

СсылкиПравить

• Граве Д. А. Гомологические фигуры // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.