Гипоэллиптический оператор

Гипоэллиптический оператор — дифференциальный оператор в частных производных, фундаментальное решение которого принадлежит классу $C^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$C^{\infty }$ во всех точках пространства, за исключением начала координат.

ОпределениеПравить

Пусть $P(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})$$P(\xi )$  — вещественный полином от переменных $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}=({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_n):$$\xi =(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}):$ 

$P(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=\underset{|\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}|\le <!--\; \le \; -->m}{\sum <!--\; \sum \; -->}{a}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}:=\underset{|\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}|\le <!--\; \le \; -->m}{\sum <!--\; \sum \; -->}{a}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1^{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1}\cdots <!--\; \cdots \; -->{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_n^{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n},$$P(\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }\xi ^{\alpha }:=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}},$ 

где $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n)\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{Z}}_{+}^n$$\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {Z} _{+}^{n}$  и $|\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}|={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n$$|\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}$ .

Определим соответствующий дифференциальный оператор:

$P(D)=\underset{|\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}|\le <!--\; \le \; -->m}{\sum <!--\; \sum \; -->}{a}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{D}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}:=\underset{|\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}|\le <!--\; \le \; -->m}{\sum <!--\; \sum \; -->}{a}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{|\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}|}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_1^{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1}\cdots <!--\; \cdots \; -->\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_n^{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n}},$$P(D)=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }D^{\alpha }:=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }{\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}},$ 

где

$D=(D_1,\dots <!--\; \dots \; -->,D_n),D_j=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_j},j=1,\dots <!--\; \dots \; -->,n.$$D=(D_{1},\ldots ,D_{n}),\quad D_{j}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}},\quad j=1,\ldots ,n.$ 

Обобщенная функция $\mathcal{E}(x)$${\mathcal {E}}(x)$  называется фундаментальным решением дифференциального оператора $P(D)$$P(D)$ , если она является решением уравнения $P(D)\mathcal{E}(x)=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(x),$$P(D){\mathcal {E}}(x)=\delta (x),$  где $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(x)$$\delta(x)$  — дельта-функция Дирака. Оператор $P(D)$$P(D)$  называется гипоэллиптическим, если $\mathcal{E}(x)$${\mathcal {E}}(x)$  принадлежит классу $C^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$C^{\infty }$  при всех $x\ne <!--\; \ne \; -->0$$x\neq 0$ .

СвойстваПравить

Следующий критерий гипоэллиптичности часто используется в качестве определения гипоэллиптического оператора:

Теорема 1. Оператор $P(D)$$P(D)$  является гипоэллиптическим, тогда и только тогда, когда для любой открытой области $U\subset <!--\; \subset \; -->{\mathbb{R}}^n$$U\subset {\mathbb {R}}^{n}$  всякое решение $u(x)$$u(x)$  (обобщенная функция) уравнения $P(D)u(x)=f(x),x\in <!--\; \in \; -->U,$$P(D)\,u(x)=f(x),\quad x\in U,$  с любой правой частью $f\in <!--\; \in \; -->C^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(U)$$f\in C^{\infty }(U)$  также принадлежит классу $u\in <!--\; \in \; -->C^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(U).$$u\in C^{\infty }(U).$

Также имеет место следующий алгебраический критерий гипоэллиптичности, установленный Хёрмандером:

Теорема 2. Оператор $P(D)$$P(D)$  является гипоэллиптическим, тогда и только тогда, когда $\frac{P^{(k)}(-<!--\; -\; -->i\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})}{P(-<!--\; -\; -->i\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})}\to <!--\; \to \; -->0,|\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}|\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},$${\frac {P^{(k)}(-i\xi )}{P(-i\xi )}}\,\to \,0,\quad \ |\xi |\to \infty ,$  для всех $k=(k_1,\dots <!--\; \dots \; -->,k_n)\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{Z}}_{+}^n,|k|\ge <!--\; \ge \; -->1,$$k=(k_{1},\ldots ,k_{n})\in \mathbb {Z} _{+}^{n},\,\ |k|\geq 1,$  где $i$$i$  — мнимая единица.

ПримерыПравить

• Любой эллиптический оператор является гипоэллиптическим, например, оператор Лапласа.
• Оператор теплопроводности является гипоэллиптическим, но не эллиптическим.
• Оператор Д’Аламбера не является гипоэллиптическим.

ЛитератураПравить

• Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. — Москва: Мир, 1986—1988.
• Владимиров В.С. Обобщённые функции в математической физике. — Москва: Наука, 1979.
• Ю.В. Егоров, М.А. Шубин. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Основы классической теории. — Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. — Москва: ВИНИТИ, 1988. — Т. 30. — С. 5-255.
• Ж. Трев. Лекции по линейным уравнениям в частных производных с постоянными коэффициентами. — Москва, 1965.