Гипотеза Малера

Гипотеза Малера — гипотеза метрической теории классификации чисел о величине «меры трансцендентности» почти всех чисел. Была сформулирована К. Малером в 1932 г. Доказана В. Г. Спринджуком в 1965 г.

ФормулировкаПравить

Рассмотрим приближения нуля значениями целочисленных полиномов $P(x)=a_0+a_{1}x+\dots <!--\; \dots \; -->+a_n{x}^n$$P(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}$  при значениях аргумента $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$ , являющимися действительными или комплексными числами и при фиксированных $n=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->$$n=1,\;2,\;\ldots$ . Назовем высотой полинома величину $h(P)=max(|a_0|,|a_1|,\dots <!--\; \dots \; -->,|a_n|)$$h(P)=\max(|a_{0}|,\;|a_{1}|,\;\ldots ,\;|a_{n}|)$  и предположим, что она возрастает. Обозначим $w_n(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},H)=min|P(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})|$$w_{n}(\omega ,H)=\min |P(\omega )|$ . Здесь минимум берется по всем целочисленным полиномам $P$$P$  степени не более $n$$n$ , высоты не более $H$$H$  и с условием $P(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})\ne <!--\; \ne \; -->0$$P(\omega )\neq 0$ . Обозначим $w_n(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\underset{H\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}}\frac{\ln <!--\; \; -->\frac{1}{w_n(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},H)}}{\ln <!--\; \; -->H}$$w_{n}(\omega )={\overline {\lim _{H\to \infty }}}{\dfrac {\ln {\dfrac {1}{w_{n}(\omega ,H)}}}{\ln H}}$ $w(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\underset{H\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}}\frac{1}{n}{w}_n(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$w(\omega )={\overline {\lim _{H\to \infty }}}{\frac {1}{n}}w_{n}(\omega )$ . Пусть $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  — трансцендентное число. Введем обозначения: ${\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}}_n(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=\frac{1}{n}{w}_n(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$\Theta _{n}(\omega )={\frac {1}{n}}w_{n}(\omega )$  — для вещественных чисел, ${\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_n(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=\frac{1}{n}{w}_n(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$\eta _{n}(\omega )={\frac {1}{n}}w_{n}(\omega )$  — для комплексных чисел, $\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=\underset{(n)}{sup}{\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}}_n(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$\Theta (\omega )=\sup _{(n)}\Theta _{n}(\omega )$ , где $n=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->$$n=1,\;2,\;\ldots$ , $\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=\underset{(n)}{sup}{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_n(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$\eta (\omega )=\sup _{(n)}\eta _{n}(\omega )$ , где $n=2,3,\dots <!--\; \dots \; -->$$n=2,\;3,\;\ldots$ .

Гипотеза Малера утверждает, что $\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=1$$\Theta (\omega )=1$ , $\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=\frac{1}{2}$$\eta (\omega )={\frac {1}{2}}$ .

ДоказательствоПравить

Доказательство есть в статье.

ЛитератураПравить

• Спринджук В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел. — Минск: Наука и техника, 1967. — 184 с.