Гипотеза Крамера

Гипотеза Крамера — теоретико-числовая гипотеза, сформулированная шведским математиком Харальдом Крамером в 1936 году, утверждающая, что

$p_{n+1}-<!--\; -\; -->p_n=O({\ln }^2<!--\; \; -->p_n),$$p_{n+1}-p_n=O(\ln ^2 p_n),\$

где $p_n$$p_n$ обозначает n-е простое число, а O — это O большое. Грубо говоря, это означает, что интервалы между последовательными простыми числами всегда маленькие. Также гипотезой Крамера называют чуть более сильное утверждение:

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim sup}\frac{p_{n+1}-<!--\; -\; -->p_n}{{\ln }^2<!--\; \; -->p_n}=1.$$\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\ln ^{2}p_{n}}}=1.$

Гипотеза Крамера пока не доказана и не опровергнута.

Эвристическое обоснованиеПравить

Гипотеза Крамера основывается на вероятностной модели (существенно эвристической) распределения простых, в которой предполагается, что вероятность того, что натуральное число x является простым, равна примерно $\frac{1}{\ln <!--\; \; -->x}$$\frac{1}{\ln x}$ . Эта модель известна как Модель Крамера' простых. Крамер доказал в своей модели, что упомянутая гипотеза истинна с вероятностью 1.

Доказанные результаты о пробелах между простыми числамиПравить

Крамер также дал условное доказательство более слабого утверждения о том, что

$p_{n+1}-<!--\; -\; -->p_n=O(\sqrt{p_n}\ln <!--\; \; -->p_n)$$p_{n+1}-p_n = O(\sqrt{p_n}\ln p_n)$ 

предполагая истинной гипотезу Римана.

С другой стороны, E. Westzynthius доказал в 1931 году, что величина пробелов между простыми более чем логарифмическая. То есть,

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim sup}\frac{p_{n+1}-<!--\; -\; -->p_n}{\ln <!--\; \; -->p_n}=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}.$$\limsup_{n\to +\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\ln p_n}=\infty.$ 

Гипотеза Крамера — ГранвиллаПравить

 

Даниэль Шенкс предложил гипотезу об асимптотическом равенстве для наибольших интервалов $G(x)$$G(x)$  между простыми, не превышающими $x$$x$ . Гипотеза Шенкса несколько сильнее, чем гипотеза Крамера:

$G(x)\sim <!--\; \sim \; -->{\ln }^2<!--\; \; -->x.$$G(x)\sim \ln ^{2}x.$ 

В вероятностной модели

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim sup}\frac{p_{n+1}-<!--\; -\; -->p_n}{{\ln }^2<!--\; \; -->p_n}=c,$$\limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{p_{n+1}-p_n}{\ln ^2 p_n} = c,$  при этом $c=1.$$c = 1.$ 

Но константа $c$$c$  возможно не такая, как для простых, по теореме Майера. Эндрю Гранвилл в 1995 году утверждал, что константа $c=2e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{1,122}9\dots <!--\; \dots \; -->$$c=2e^{-\gamma }\approx 1{,}1229\ldots$ , где $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  — постоянная Эйлера.

М. Вольф предложил формулу для максимального расстояния $G(x)$$G(x)$  между последовательными простыми числами меньшими $x$$x$ . Формула Вольфа выражает $G(x)$$G(x)$  через функцию распределения простых чисел $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(x)$$\pi (x)$ :

$G(x)\sim <!--\; \sim \; -->\frac{x}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(x)}(2\ln <!--\; \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(x)-<!--\; -\; -->\ln <!--\; \; -->x+c_0),$$G(x)\sim {\frac {x}{\pi (x)}}(2\ln \pi (x)-\ln x+c_{0}),$ 

где $c_0=\ln <!--\; \; -->C_2=\mathrm{0,277}8769\dots <!--\; \dots \; -->$$c_{0}=\ln C_{2}=0{,}2778769\dots$ , а $C_2=\mathrm{1,320}3236\dots <!--\; \dots \; -->$$C_{2}=1{,}3203236\dots$  есть удвоенная константа простых-близнецов.

Томас Найсли вычислил много наибольших пробелов между простыми. Он проверил качество гипотезы Крамера, измерив отношение R логарифма простых к квадратному корню из размера пробела между простыми:

$R=\frac{\ln <!--\; \; -->p_n}{\sqrt{p_{n+1}-<!--\; -\; -->p_n}}.$$R={\frac {\ln p_{n}}{\sqrt {p_{n+1}-p_{n}}}}.$ 

Он писал: «Для известных максимальных пробелов между простыми R остаётся равным примерно 1,13», что показывает, как минимум в диапазоне его вычислений, что грэнвиллево улучшение гипотезы Крамера не представляется лучшим приближением для имеющихся данных.

См. такжеПравить

• Теорема о распределении простых чисел
• Интервалы между простыми числами
• Гипотеза Фирузбэхт — более сильная гипотеза
• Гипотеза Лежандра и гипотеза Андрицы — более слабые, но пока тоже не доказанные верхние оценки величины пробелов между простыми

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Cramér Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Cramér-Granville Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.