Гиперэкспоненциальное распределение

В теории вероятностей, гиперэкспоненциальное распределение — абсолютно непрерывное распределение, при котором плотность вероятности случайной величины $X$$X$ выражается как

$f_X(x)=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{f}_{Y_i}(y)p_i,$$f_{X}(x)=\sum _{i=1}^{n}f_{Y_{i}}(y)p_{i},$

где $Y_i$$Y_{i}$ — экспоненциально распределенная случайная величина с параметром $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{}_i$$\lambda \,_{i}$, и $p_i$$p_{i}$ — вероятность того, что X будет иметь экспоненциальное распределение с параметром $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{}_i$$\lambda \,_{i}$. Оно названо гиперэкспоненциальным распределением, так как его коэффициент вариации больше коэффициента вариации экспоненциального распределения (1) и гипоэкспоненциального распределения, у которого коэффициент вариации меньше коэффициента вариации экспоненциального распределения. Хотя экспоненциальное распределение — непрерывный аналог геометрического распределения, гиперэкспоненциальное распределение не является аналогом гипергеометрического распределения. Гиперэкспоненциальное распределение — пример распределения со смешанной плотностью.

Пример случайной величины, распределённой по гиперэкспоненциальному закону, можно найти в телефонии: при наличии модема и телефона использование телефонной линии может моделироваться гиперэкспоненциальным распределением с заданной вероятностью разговора по телефону p с битрейтом $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{}_1$$\lambda \,_{1}$ и вероятностью соединения по модему q с битрейтом $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{}_2.$$\lambda \,_{2}.$

Свойства гиперэкспоненциального распределенияПравить

Поскольку математическое ожидание суммы есть сумма математических ожиданий, математическое ожидание гиперэкспоненциально распределённой случайной величины

$E(X)={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}xf(x)dx=p_1{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}x\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{}_1{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{}_{1}x}dx+p_2{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}x\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{}_2{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{}_{2}x}dx+\cdots <!--\; \cdots \; -->+p_n{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}x\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{}_n{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{}_{n}x}dx$$E(X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx=p_{1}\int _{0}^{\infty }x\lambda \,_{1}e^{-\lambda \,_{1}x}dx+p_{2}\int _{0}^{\infty }x\lambda \,_{2}e^{-\lambda \,_{2}x}dx+\cdots +p_{n}\int _{0}^{\infty }x\lambda \,_{n}e^{-\lambda \,_{n}x}dx$ 

$=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{p_i}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{}_i}$$=\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{\lambda \,_{i}}}$ 

и

$E(X^2)={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{x}^{2}f(x)dx=p_1{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{x}^2\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{}_1{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{}_{1}x}dx+p_2{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{x}^2\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{}_2{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{}_{2}x}dx+\cdots <!--\; \cdots \; -->+p_n{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{x}^2\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{}_n{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{}_{n}x}dx,$$E(X^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f(x)\,dx=p_{1}\int _{0}^{\infty }x^{2}\lambda \,_{1}e^{-\lambda \,_{1}x}\,dx+p_{2}\int _{0}^{\infty }x^{2}\lambda \,_{2}e^{-\lambda \,_{2}x}\,dx+\cdots +p_{n}\int _{0}^{\infty }x^{2}\lambda \,_{n}e^{-\lambda \,_{n}x}\,dx,$ 

$=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{2}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{}_i^2}{p}_i,$$=\sum _{i=1}^{n}{\frac {2}{\lambda \,_{i}^{2}}}p_{i},$ 

Производящая функция моментов

$E(e^{tx})={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{e}^{tx}f(x)dx=p_1{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{e}^{tx}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{}_1{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{}_{1}x}dx+p_2{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{e}^{tx}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{}_2{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{}_{2}x}dx+\cdots <!--\; \cdots \; -->+p_n{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{e}^{tx}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{}_n{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{}_{n}x}dx$$E(e^{tx})=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)dx=p_{1}\int _{0}^{\infty }e^{tx}\lambda \,_{1}e^{-\lambda \,_{1}x}dx+p_{2}\int _{0}^{\infty }e^{tx}\lambda \,_{2}e^{-\lambda \,_{2}x}dx+\cdots +p_{n}\int _{0}^{\infty }e^{tx}\lambda \,_{n}e^{-\lambda \,_{n}x}dx$ 

$=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{}_i}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_i-<!--\; -\; -->t}{p}_i.$$=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda \,_{i}}{\lambda _{i}-t}}p_{i}.$