Гиперкубические соты

Правильная квадратная мозаика. 1 color	Кубические соты^[en]^* в их регулярной форме. 1 color
Шахматная квадратная мозаика 2 цвета	Шахматные кубические соты^[en]^*. 2 цвета
Растянутая квадратная мозаика 3 цвета	Растянутые кубические соты 4 цвета
4 цвета	8 цветов

Гиперкуби́ческие соты — семейство правильных сот (замощений) в пространстве размерности $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n$ $n$ с символами Шлефли $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${4,3...3,4}$ ${4,3...3,4}$ , имеющих симметрию группы Коксетера $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $R_{n}$ $R_n$ (или $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $B_{n-1}^{~}$ $B_{n-1}^{~}$ ) для $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n\geq 3$ $n\geq 3$ .

Соты строятся из четырёх $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n$ $n$ -мерных гиперкубов на каждой $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(n-2)$ $(n-2)$ -мерной грани. Вершинной фигурой является гипероктаэдр $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${3...3,4}$ ${3...3,4}$ .

Гиперкубические соты являются самодвойственными.

Коксетер, Гарольд назвал это семейство $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\delta _{n}+1$ $\delta _{n}+1$ (для $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n$ $n$ -мерных сот).

Классы построения Витхоффа по размерностиПравить

Имеется два основных вида гиперкубических сот, правильная форма с идентичными фасетами гиперкубов и полуправильная с чередующимися фасетами, наподобие шахматной доски.

Третья форма образуется путём операции растяжения, применённой к правильной форме. В результате растяжения создаются фасеты на месте всех элементов меньшей размерности. Например, растянутые кубические соты имеют кубические ячейки с центрами исходных кубов, на исходных фасетах, на исходных рёбрах и на исходных вершинах, создавая тем самым ячейки 4-х цветов вокруг каждой вершины с соотношением 1:3:3:1.

Прямоугольные соты — это семейство топологически эквивалентных кубическим сот, но имеющих меньшую степень симметрии. В этих сотах каждое из трёх направлений может иметь отличную от других длину. Фасеты являются гиперпрямоугольниками (на плоскости это прямоугольники, а в трёхмерном пространстве — прямоугольные параллелепипеды).

δ_n	Название	Символы Шлефли	Диаграммы Коксетера — Дынкина
Прямоугольные {∞}ⁿ (2^m цветов, m<n)	Правильные (Растянутые) {4,3^n-1,4} (1 цвет, n цветов)	Шахматные {4,3^n-4,3^1,1} (2 цвета)
δ₂	Апейрогон	{∞}
δ₃	Квадратная мозаика	{∞}² {4,4}
δ₄	Кубические соты^[en]^*	{∞}³ {4,3,4} {4,3^1,1}
δ₅	Кубические 4-мерные соты^[en]	{∞}⁴ {4,3²,4} {4,3,3^1,1}
δ₆	Кубические 5-мерные соты^[en]	{∞}⁵ {4,3³,4} {4,3²,3^1,1}
δ₇	Кубические 6-мерные соты^[en]	{∞}⁶ {4,3⁴,4} {4,3³,3^1,1}
δ₈	Кубические 7-мерные соты^[en]	{∞}⁷ {4,3⁵,4} {4,3⁴,3^1,1}
δ₉	Кубические 8-мерные соты^[en]	{∞}⁸ {4,3⁶,4} {4,3⁵,3^1,1}

δ_n	Кубические n-мерные соты	{∞}ⁿ {4,3^n-3,4} {4,3^n-4,3^1,1}	...

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

H.S.M. Coxeter. Regular Polytopes. — 3rd. — Dover edition, 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
1. стр. 122–123, 1973. (Решётка гиперкубов γ_n образует кубические соты δ_n+1)
2. стр. 154–156: Частично усечённые или альтернированные, представленные префиксом h: h{4,4}={4,4}; h{4,3,4}={3^1,1,4}, h{4,3,3,4}={3,3,4,3}
3. стр. 296, Таблица II: Правильные соты, δ_n+1