Гетеродинирование

Гетеродини́рование — преобразование частоты сигнала в пару различных сигналов с разными частотами, эти сигналы принято называть сигналами промежуточных частот, причём исходная фаза сигнала сохраняется в порождённых сигналах.

Гетеродинирование осуществляется с помощью вспомогательного генератора гармонических колебаний — гетеродина и нелинейного элемента. Идеальный, с точки зрения качества гетеродинирования, нелинейный элемент — это четырёхквадрантный перемножитель преобразуемого сигнала и сигнала гетеродина.

Принцип действияПравить

Гетеродинирование с использованием перемножителяПравить

 

a) Исходные сигналы с частотами $f_1=20$$f_{1}=20$  Гц и $f_2=2$$f_{2}=2$  Гц
b) Произведение сигналов
c) Спектры исходных сигналов и их произведения

В случае применения перемножителя сигналов гетеродинирование основано на тригонометрическом равенстве:

$\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\frac{1}{2}\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}).$$\sin \theta \sin \varphi ={\frac {1}{2}}\cos(\theta -\varphi )-{\frac {1}{2}}\cos(\theta +\varphi ).$ 

Левая часть представляет собой произведение двух синусоид. Правая часть — разность косинусов суммы и разности аргументов соответственно.

Исходя из этого равенства, результат умножения двух гармонических сигналов — $\sin <!--\; \; -->(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{f}_{1}t)$$\sin(2\pi f_{1}t)$  и $\sin <!--\; \; -->(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{f}_{2}t)$$\sin(2\pi f_{2}t)$  может быть выражен следующим образом:

$\sin <!--\; \; -->(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{f}_{1}t)\sin <!--\; \; -->(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{f}_{2}t)=\frac{1}{2}\cos <!--\; \; -->[2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(f_1-<!--\; -\; -->f_2)t]-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}\cos <!--\; \; -->[2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(f_1+f_2)t]$$\sin(2\pi f_{1}t)\sin(2\pi f_{2}t)={\frac {1}{2}}\cos[2\pi (f_{1}-f_{2})t]-{\frac {1}{2}}\cos[2\pi (f_{1}+f_{2})t]$ 

В результате получается два сигнала промежуточных частот с частотами $f_1+f_2$$f_{1}+f_{2}$  и $f_1-<!--\; -\; -->f_2.$$f_{1}-f_{2}.$ 

Фазы исходных сигналов сказывается на фазах промежуточных частот следующим образом:

$\sin <!--\; \; -->(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{f}_{1}t+\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})\sin <!--\; \; -->(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{f}_{2}t+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})=$$\sin(2\pi f_{1}t+\theta )\sin(2\pi f_{2}t+\varphi )=$ 

$=\frac{1}{2}\cos <!--\; \; -->(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{f}_{1}t+\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{f}_{2}t-<!--\; -\; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}\cos <!--\; \; -->(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{f}_{1}t+\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{f}_{2}t+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})=$$={\frac {1}{2}}\cos(2\pi f_{1}t+\theta -2\pi f_{2}t-\varphi )-{\frac {1}{2}}\cos(2\pi f_{1}t+\theta +2\pi f_{2}t+\varphi )=$ 

$=\frac{1}{2}\cos <!--\; \; -->(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(f_1-<!--\; -\; -->f_2)t+\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}\cos <!--\; \; -->(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(f_1+f_2)t+\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}).$$={\frac {1}{2}}\cos(2\pi (f_{1}-f_{2})t+\theta -\varphi )-{\frac {1}{2}}\cos(2\pi (f_{1}+f_{2})t+\theta +\varphi ).$ 

Гетеродинирование с использованием нелинейного элементаПравить

Практически, в большинстве супергетеродинных радиоприёмных устройств в качестве нелинейного элемента для преобразования частоты сигнала в промежуточную частоту применяется какой-либо нелинейный элемент, имеющий нелинейную вольт-амперную характеристику (ВАХ).

Например, в качестве такого нелинейного элемента для смешивания сигналов и получения промежуточных частот может быть использован полупроводниковый диод.

ВАХ полупроводникового диода может быть описана в модели Эберса — Молла в виде:

$I=I_S\left(e^{\frac{V_D}{V_T}}-<!--\; -\; -->1\right)$$I=I_{S}\left(e^{V_{D} \over V_{T}}-1\right)$ 

где $I_S$$I_{S}$  — обратный ток насыщения, при комнатной температуре равен приблизительно ${10}^{-<!--\; -\; -->11}-<!--\; -\; -->{10}^{-<!--\; -\; -->15}$$10^{-11}-10^{-15}$  А;

$V_D$$V_{D}$  — напряжение на диоде;

$V_T$$V_{T}$  — температурное напряжение, при комнатной температуре (~300 К) составляет около 26 мВ.

В формуле, выражающей ВАХ диода существенно, что в неё входит экспонента, которую можно представить в виде суммы бесконечного ряда:

$e^x=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{x^n}{n!}.$$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.$ 

Ограничиваясь тремя членами этого ряда получаем приближённое равенство:

$e^x-<!--\; -\; -->1\approx <!--\; \approx \; -->x+\frac{x^2}{2}.$$e^{x}-1\approx x+{\frac {x^{2}}{2}}.$ 

Если на диод подавать напряжение, равное сумме сигнала и напряжения гетеродина:

$V_D=U_S+U_G=A_S\sin <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{S}t)+A_G\sin <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{G}t),$$V_{D}=U_{S}+U_{G}=A_{S}\sin(\omega _{S}t)+A_{G}\sin(\omega _{G}t),$ 

где $A_S,$$A_{S},$  $A_G$$A_{G}$  амплитуды напряжений сигнала и гетеродина соответственно;

${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_S=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{f}_S,$$\omega _{S}=2\pi f_{S},$  ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_G=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{f}_G$$\omega _{G}=2\pi f_{G}$  — угловые частоты сигнала и гетеродина, $f_S,$$f_{S},$  $f_G$$f_{G}$  — частоты сигнала и гетеродина,

$e^{\frac{V_D}{V_T}}-<!--\; -\; -->1\approx <!--\; \approx \; -->\frac{1}{V_T}\left\{A_S\sin <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{S}t)+A_G\sin <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{G}t)+{\left[A_S\sin <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{S}t)+A_G\sin <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{G}t)\right]}^2\right\}=$$e^{V_{D} \over V_{T}}-1\approx {1 \over V_{T}}\left\{A_{S}\sin(\omega _{S}t)+A_{G}\sin(\omega _{G}t)+\left[A_{S}\sin(\omega _{S}t)+A_{G}\sin(\omega _{G}t)\right]^{2}\right\}=$ 

$=\frac{1}{V_T}\left[A_S\sin <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{S}t)+A_G\sin <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{G}t)+{A_S}^2{\sin }^2<!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{S}t)+2A_S{A}_G\sin <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{S}t)\sin <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{G}t)+{A_G}^2{\sin }^2<!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{G}t)\right].$$={1 \over V_{T}}\left[A_{S}\sin(\omega _{S}t)+A_{G}\sin(\omega _{G}t)+{A_{S}}^{2}\sin ^{2}(\omega _{S}t)+2A_{S}A_{G}\sin(\omega _{S}t)\sin(\omega _{G}t)+{A_{G}}^{2}\sin ^{2}(\omega _{G}t)\right].$ 

Спектральные составляющие ${\sin }^2<!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{G}t)$$\sin ^{2}(\omega _{G}t)$  и ${\sin }^2<!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{S}t)$$\sin ^{2}(\omega _{S}t)$  имеют удвоенные частоты, так как ${\sin }^2<!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)=\frac{1-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->2(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)}{2}$$\sin ^{2}(\omega t)={\frac {1-\cos 2(\omega t)}{2}}$ , а произведение $A_S{A}_G\sin <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{S}t)\sin <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{G}t)$$A_{S}A_{G}\sin(\omega _{S}t)\sin(\omega _{G}t)$  в соответствии с вышесказанным даст спектральные составляющие с частотами, равными сумме и разности частот сигнала и гетеродина.

Так как в этом упрощенном анализе рассмотрено приближение экспоненты всего тремя членами ряда, то здесь не появляются спектральные составляющие с иными частотами, кроме указанных, в частности удвоенных.

Фактически, в спектре тока через диод, к которому приложено напряжение, равное сумме двух гармонических сигналов, присутствуют комбинационные частоты, с частотами, равными разности, сумме и разностям и суммам гармоник входных сигналов и также высшие гармоники исходных сигналов.

См. такжеПравить

• Смеситель
• Гетеродин
• Супергетеродинный приёмник