Геометрия Галуа

Геометрия Галуа (названа именем французского математика 19-го века Эвариста Галуа) — это раздел конечной геометрии, рассматривающий алгебраическую и аналитическую геометрию над конечными полями (или полями Галуа). В более узком смысле геометрию Галуа можно определить как проективное пространство над конечным полем.

Плоскость Фано, Проективная плоскость над полем из двух элементов, один из самых простых объектов геометрии Галуа.

ВведениеПравить

Объектами изучения служат векторные пространства, аффинные и проективные пространства над конечными полями и различные структуры, содержащихся в них. В частности, дуги^[en], овалы, гиперовалы, униталы^[en], блокирующие множества^[en], овалы, многообразия и другие конечные аналоги структур, имеющихся в бесконечных геометриях.

Джордж Конуэлл продемонстрировал геометрию Галуа в 1910, когда описывал решение задачи Киркмана о школьницах как разбиение множества скрещивающихся прямых в PG(3,2), трёхмерной проективной геометрии над полем Галуа GF(2)^[en]. Подобно методам геометрии прямых в пространстве над полем с характеристикой 0, Конуэлл использовал плюккеровы координаты в PG(5,2) и отождествил точки, представляющие прямые в PG(3,2) с точками, лежащими на квадрике Кляйна^[en].

В 1955 году Беньямино Сегре описал овалы для нечётных q. Теорема Сегре^[en] утверждает, что в геометрии Галуа нечётного порядка (проективная плоскость, определённая над конечным полем с нечётной характеристикой) любой овал является коническим сечением. На Международном конгрессе математиков 1958 года Сегре представил обзор имеющихся на то время результатов в геометрии Галуа.

$q$$q$  называется порядком конечной проективной плоскости, такой, что каждая точка (прямая), и число точек равняется числу прямых, $q^2+q+1.$$q^{2}+q+1.$  Например, при $q=1$$q=1$  проективная плоскость - треугольник. Плоскости Галуа являются конечными проективными плоскостями, для которых справедлива теорема Дезарга. Для конечной проективной плоскости $\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}$$\Pi$  определяется несколько когерентных конфигураций. Схема, содержащая их, определяется на множестве $V^2,$$V^{2},$  где $V$$V$  - множество элементов (точек и прямых) конечной проективной плоскости $\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->},$$\Pi ,$  и в случае дезарговости расширяется до схемы, соответствующей покомпонентному действию группы $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->})$$\mathrm {Aut} (\Pi )$  на $V^2.$$V^{2}.$ 

См. такжеПравить

• Проективная геометрия
• Геометрия инцидентности
• Соответствие Галуа