Пропорция (математика)

Пропо́рция (лат. proportio «соразмерность, выравненность частей; определённое соотношение частей между собой») — равенство отношений двух [и более] пар чисел $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $a, b$ $a , b$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $c, d$ $c , d$ , т. е. равенство вида $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $a:b=c:d$ $a:b=c:d$ , или, в других обозначениях, равенство $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ $\ {\frac ab}={\frac cd}$ (часто читается как: « $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $a$ $a$ относится к $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $b$ $b$ так же, как $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $c$ $c$ относится к $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $d$ $d$ »). В этом случае $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $a$ $a$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $d$ $d$ называют крайними, $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $b$ $b$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $c$ $c$ — средними членами пропорции. Такую пропорцию ещё называют геометрической, чтобы не путать с арифметической и гармонической пропорциями.

Основные свойства пропорцийПравить

Обращение пропорции. Если $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ , то $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\ {\frac {b}{a}}={\frac {d}{c}}$
Перемножение крайних членов пропорции со средними (крест-накрест). Если $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ , то $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\ ad=bc$ . Иными словами, произведение крайних членов равно произведению средних. Это свойство называется основным свойством пропорции.
Перестановка средних и крайних членов. Если $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ , то

\text{[math]}

\ {\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}

(перестановка средних членов пропорции),

\text{[math]}

\ {\frac {d}{b}}={\frac {c}{a}}

(перестановка крайних членов пропорции).

Увеличение и уменьшение пропорции. Если $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ , то

\text{[math]}

\ {\dfrac {a+b}{b}}={\dfrac {c+d}{d}}

(увеличение пропорции),

\text{[math]}

\ {\dfrac {a-b}{b}}={\dfrac {c-d}{d}}

(уменьшение пропорции).

Составление пропорции сложением и вычитанием. Если $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ , то

\text{[math]}

\ {\dfrac {a+c}{b+d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}

(составление пропорции сложением),

\text{[math]}

\ {\dfrac {a-c}{b-d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}

(составление пропорции вычитанием).

Доказательство (составление пропорции сложением и вычитанием)

Докажем для сложения. Выразим $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $c$ через остальные члены пропорции: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $c={\frac {ad}{b}}$ . Тогда:

\text{[math]}

{\frac {a+c}{b+d}}={\frac {a+ad/b}{b+d}}={\frac {(ab+ad)/b}{b+d}}={\frac {a(b+d)}{b(b+d)}}={\frac {a}{b}}.

Для вычитания доказательство аналогично. ■

ИсторияПравить

Первое известное определение равных пропорций было дано как равенство последовательных вычитаний^[1], современным языком это можно выразить как равенство цепных дробей для отношений величин.^[2] Позже Евдокс Книдский упростил определение, равенство пропорций $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $a:b=c:d$ им определялось как одновременное выполнение одной из трёх пар соотношений

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m\cdot a>n\cdot b$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m\cdot c>n\cdot d$ ,
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m\cdot a=n\cdot b$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m\cdot c=n\cdot d$ ,
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m\cdot a<n\cdot b$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m\cdot c<n\cdot d$

для любой пары натуральных чисел $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n$ . Это определение даётся в «Началах» Евклида.

С появлением вещественных чисел отпала необходимость в специальной теории пропорций, древние математики не рассматривали пропорции длины как числа. Определение Евдокса, данное в несколько более абстрактном виде, использовалось далее при определении вещественных чисел Дедекиндом через сечения.

Связанные определенияПравить

Арифметическая пропорцияПравить

Равенство двух разностей $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $a-b=c-d$ иногда называют арифметической пропорцией^[3].

Гармоническая пропорцияПравить

Если у геометрической пропорции средние члены равны, а последний является разницей между первым и средним, такая пропорция называется гармонической: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $a:b=b:(a-b)$ . В этом случае, разложение $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $a$ на сумму двух слагаемых $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $b$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $a-b$ называется гармоническим делением или золотым сечением^[4].

Задачи на тройное правилоПравить

В содержание задачи на простое тройное правило входят две величины, связанные пропорциональной зависимостью, при этом даются два значения одной величины и одно из соответствующих значений другой величины, требуется же найти её второе значение.

Задачами на сложное тройное правило называют задачи, в которых по ряду нескольких (более двух) пропорциональных величин требуется найти значение одной из них, соответствующее другому ряду данных значений величин^[5]^[6].

См. такжеПравить

В Викисловаре есть статья «пропорция»

Пропорциональность

ПримечанияПравить

↑ Топика Аристотеля
↑ Von Fritz, Kurt. «The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum». Annals of mathematics. — 1945. — S. 242—264.
↑ Пропорции арифметические // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
↑ Гармоническая пропорция // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
↑ Справочник по элементарной математике (неопр.). Дата обращения: 8 января 2018. Архивировано 8 января 2018 года.
↑ Решение задач на простое тройное правило. Способы решения (неопр.). Дата обращения: 8 января 2018. Архивировано 8 января 2018 года.

ЛитератураПравить

Ван дер Варден, Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. / пер. с голл. И. Н. Веселовского. — М.: ГИФМЛ, 1959.

[1] Топика Аристотеля

[2] Von Fritz, Kurt. «The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum». Annals of mathematics. — 1945. — S. 242—264.

[3] Пропорции арифметические // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

[4] Гармоническая пропорция // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

[5] Справочник по элементарной математике (неопр.). Дата обращения: 8 января 2018. Архивировано 8 января 2018 года.

[6] Решение задач на простое тройное правило. Способы решения (неопр.). Дата обращения: 8 января 2018. Архивировано 8 января 2018 года.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]