Законы Кеплера

Зако́ны Ке́плера — три эмпирических соотношения, установленные Иоганном Кеплером на основе длительных астрономических наблюдений Тихо Браге. Изложены Кеплером в работах, опубликованных между 1609 и 1619 годами. Описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты.

Соотношения Кеплера позволили Ньютону постулировать закон всемирного тяготения, который стал фундаментальным в классической механике. В её рамках законы Кеплера являются решением задачи двух тел в случае пренебрежимо малой массы планеты, то есть в предельном переходе $m_p/m_s\to <!--\; \to \; -->0$$m_{p}/m_{s}\rightarrow 0$, где $m_p$$m_{p}$, $m_s$$m_{s}$ — массы планеты и звезды соответственно.

ФормулировкиПравить

Первый закон Кеплера (закон эллипсов)Править

 

Первый закон Кеплера

Каждая планета Солнечной системы движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением $e=\frac{c}{a}$$e=\frac{c}{a}$ , где $c$$c$  — расстояние от центра эллипса до его фокуса (фокальное расстояние), $a$${a}$  — большая полуось. Величина $e$$e$  называется эксцентриситетом эллипса. При $c=0$$c=0$ , и, следовательно, $e=0,$$e=0,$  эллипс превращается в окружность.

Второй закон Кеплера (закон площадей)Править

 

Второй закон Кеплера

Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает собой равные площади.

Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий — наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.

Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает также, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

Третий закон Кеплера (гармонический закон)Править

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет.

$\frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3}$$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}$ ,

$T^2=\frac{4{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}{GM}{a}^3$$T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}a^{3}$ 

 

Третий закон Кеплера

где $T_1$$T_{1}$  и $T_2$$T_{2}$  — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а $a_1$$a_{1}$  и $a_2$$a_{2}$  — длины больших полуосей их орбит. Утверждение справедливо также для спутников.

Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определённой массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты:

$\frac{T_1^2(M+m_1)}{T_2^2(M+m_2)}=\frac{a_1^3}{a_2^3}$$\frac{T_1^2(M+m_1)}{T_2^2(M+m_2)} = \frac{a_1^3}{a_2^3}$ ,

где $M$$M$  — масса Солнца, а $m_1$$m_1$  и $m_2$$m_2$  — массы планет.

Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.

Вывод законов Кеплера из законов классической механикиПравить

Вывод Первого закона КеплераПравить

Рассмотрим движение в полярных координатах $(r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})$$(r,\theta )$ , центр которых совпадает с центром масс системы (приближенно, совпадает с Солнцем).

Пусть $\mathbf{r}$$\mathbf {r}$  — радиус-вектор к планете, за $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{r}}=\mathbf{r}/r$${\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} /r$  обозначим единичный вектор, указывающий его направление. Аналогично введём $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathit{\theta <!--\; \theta \; -->}}$${\hat {\boldsymbol {\theta }}}$  — единичный вектор, перпендикулярный $\mathbf{r}$$\mathbf {r}$ , направленный в сторону увеличения полярного угла $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$ . Запишем производные по времени, обозначая их точками:

$\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathbf{r}}=\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{r}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{r}}+r\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathit{\theta <!--\; \theta \; -->}}$${\dot {\mathbf {r} }}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}$ 

$\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{\mathbf{r}}=(\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{r}-<!--\; -\; -->r{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}^2)\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{r}}+(r\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}+2\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{r}\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}})\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathit{\theta <!--\; \theta \; -->}}$${\ddot {\mathbf {r} }}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}$ 

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во Вселенной притягивает каждый другой объект по линии, соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». То есть ускорение имеет вид:

$\mathbf{a}=\frac{d^2\mathbf{r}}{d{t}^2}=f(r)\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{r}}.$$\mathbf{a} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = f(r)\hat{\mathbf{r}}.$ 

Или в координатной форме:

$\{\begin{array}{l}\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{r}-<!--\; -\; -->r{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}^2=f(r),\\ r\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}+2\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{r}\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}=0;\end{array}$${\begin{cases}{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=f(r),\\r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}=0;\end{cases}}$ 

Во втором уравнении распишем $\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$${\ddot {\theta }}$  и $\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{r}$$\dot r$ :

$r\frac{d\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}{dt}+2\frac{dr}{dt}\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}=0,$$r { d \dot\theta \over dt } + 2 {dr \over dt} \dot\theta = 0,$ 

Избавляясь от времени и разделяя переменные, получим:

$\frac{d\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}{\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}=-<!--\; -\; -->2\frac{dr}{r}.$$\frac{d\dot\theta}{\dot\theta} = -2\frac{dr}{r}.$ 

Интегрирование которого даст:

$\ln <!--\; \; -->\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}=-<!--\; -\; -->2\ln <!--\; \; -->r+C,$$\ln {\dot {\theta }}=-2\ln r+C,$ 

Полагая $C=\ln <!--\; \; -->\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}$$C=\ln \ell$  и упрощая логарифмы имеем окончательно

$r^2\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}=\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}$$r^{2}{\dot {\theta }}=\ell$ 

Константа $\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}$$\ell$  по смыслу является удельным угловым моментом ($\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}=\mathbf{r}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{v}$$\ell=\mathbf{r}\times \mathbf{v}$ ). Мы показали, что в в поле центральных сил он сохраняется.

Для работы с первым уравнением удобно произвести замену:

$r=\frac{1}{u},$$r = \frac{1}{u},$ 

И переписать производные, попутно избавляясь от времени

$\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{r}=-<!--\; -\; -->\frac{1}{u^2}\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{u}=-<!--\; -\; -->\frac{1}{u^2}\frac{du}{dt}=-<!--\; -\; -->\frac{1}{u^2}\frac{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{dt}\frac{du}{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}=-<!--\; -\; -->\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}\frac{du}{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}},$${\dot {r}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\dot {u}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {du}{dt}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\frac {du}{d\theta }},$ 

$\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{r}=-<!--\; -\; -->\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}\frac{d}{dt}\frac{du}{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}=-<!--\; -\; -->\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}\frac{d^{2}u}{dtd\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}=-<!--\; -\; -->\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\frac{d^{2}u}{d{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^2}=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^2{u}^2\frac{d^{2}u}{d{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^2}.$${\ddot {r}}=-\ell {\frac {d}{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\frac {d^{2}u}{dt\,d\theta }}\cdot {\frac {d\theta }{d\theta }}=-\ell {\dot {\theta }}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}=-\ell ^{2}u^{2}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}.$ 

Уравнение движения в направлении $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{r}}$$\hat{\mathbf{r}}$  тогда запишется:

$\frac{d^{2}u}{d{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^2}+u=-<!--\; -\; -->\frac{1}{{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^2{u}^2}f\left(\frac{1}{u}\right).$$\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = - \frac{1}{\ell^2u^2}f\left(\frac{1}{u}\right).$ 

Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как

$f\left(\frac{1}{u}\right)=f(r)=-<!--\; -\; -->\frac{GM}{r^2}=-<!--\; -\; -->GM{u}^2$$f \left( {1 \over u} \right) = f(r)= - \, { GM \over r^2 } = - GM u^2$ 

где $G$$G$  — универсальная гравитационная константа и $M$$M$  — масса звезды.

В результате:

$\frac{d^{2}u}{d{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^2}+u=\frac{GM}{{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^2}.$$\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{GM}{\ell^2}.$ 

Это дифференциальное уравнение можно переписать в полных производных:

$\frac{d}{du}\left(\frac{1}{2}{\left(\frac{du}{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\right)}^2+\frac{1}{2}{u}^2\right)=\frac{d}{du}\left(\frac{GM}{{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^2}u\right)$${\frac {d}{du}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {du}{d\theta }}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}u^{2}\right)={\frac {d}{du}}\left({\frac {GM}{\ell ^{2}}}u\right)$ 

Избавляясь от которых получим:

${\left(\frac{du}{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\right)}^2+u^2-<!--\; -\; -->\frac{2GM}{{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^2}u=C$$\left({\frac {du}{d\theta }}\right)^{2}+u^{2}-{\frac {2GM}{\ell ^{2}}}u=C$ 

И окончательно:

$\frac{du}{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}=\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{C+\frac{2GM}{{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^2}u-<!--\; -\; -->u^2}$${\frac {du}{d\theta }}=\pm {\sqrt {C+{\frac {2GM}{\ell ^{2}}}u-u^{2}}}$ 

Разделив переменные и произведя элементарное интегрирование получим общее решение:

$u=\frac{GM}{{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^2}\left[1+e\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_0)\right].$$u = \frac{GM}{\ell^2} \left[ 1 + e\cos(\theta-\theta_0) \right] .$ 

для констант интегрирования $e$$e$  и ${\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_0$$\theta _{0}$ , зависящих от начальных условий.

Заменяя $u$$u$  на 1/$r$$r$  и вводя $p=\frac{{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^2}{GM}$$p={\frac {\ell ^{2}}{GM}}$ , имеем окончательно:

$p=r(1+e\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_0))$$p=r\,(1+e\cos(\theta -\theta _{0}))$ 

Мы получили уравнение конического сечения с параметром $p$$p$  и эксцентриситетом $e$$e$  и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.

Вывод Второго закона КеплераПравить

По определению момент импульса $\mathbf{L}$$\mathbf{L}$  точечного тела с массой $m$$m$  и скоростью $\mathbf{v}$$\mathbf{v}$  записывается в виде:

$\mathbf{L}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\mathbf{r}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{p}=\mathbf{r}\times <!--\; \times \; -->(m\mathbf{v})$$\mathbf{L} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{r} \times ( m \mathbf{v} )$ .

где $\mathbf{r}$$\mathbf {r}$  — радиус-вектор тела, а $\mathbf{p}=m\mathbf{v}$$\mathbf{p} = m \mathbf{v}$  — его импульс. Площадь, заметаемая радиус-вектором $\mathbf{r}$$\mathbf {r}$  за время $dt$$dt$  из геометрических соображений равна

$dS=\frac{1}{2}r\sin <!--\; \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}vdt=\frac{1}{2}|\mathbf{r}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{v}|dt=\frac{\mathbf{|}\mathbf{L}\mathbf{|}}{2m}dt=\frac{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}{2}dt$$dS={\frac {1}{2}}r\sin \phi vdt={\frac {1}{2}}|\mathbf {r} \times \mathbf {v} |dt={\frac {\mathbf {|L|} }{2m}}dt={\frac {\ell }{2}}dt$ ,

где $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$  представляет собой угол между векторами $\mathbf{r}$$\mathbf {r}$  и $\mathbf{v}$$\mathbf{v}$ .

При выводе первого закона было показано, что $\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}=const$$\ell =const$ . То же самое можно получить простым дифференцированием углового момента:

$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=(\mathbf{r}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{F})+\left(\frac{d\mathbf{r}}{dt}\times <!--\; \times \; -->m\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right)=(\mathbf{r}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{F})+(\mathbf{v}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{p})=0$$\frac{d\mathbf{L}}{dt} = (\mathbf{r} \times \mathbf{F}) + \left( \frac{d\mathbf{r}}{dt} \times m\frac{d\mathbf{r}}{dt} \right) = ( \mathbf{r} \times \mathbf{F} ) + ( \mathbf{v} \times \mathbf{p} ) = 0$ 

Последний переход объясняется равенством нулю векторного произведения колинеарных векторов. Действительно, сила здесь всегда направлена по радиус-вектору, тогда как импульс направлен вдоль скорости по определению.

Получили, что $\mathbf{L}$$\mathbf L$  не зависит от времени. Значит $|\mathbf{L}|$$|\mathbf{L}|$  постоянен, а следовательно и пропорциональная ей скорость заметания площади $\frac{dS}{dt}$$\frac{dS}{dt}$  — константа.

Вывод Третьего закона КеплераПравить

 

Третий закон Кеплера

Второй закон Кеплера утверждает, что радиус-вектор обращающегося тела заметает равные площади за равные промежутки времени. Если теперь мы возьмём очень малые промежутки времени в момент, когда планета находится в точках $P$$P$  (перигелий) и $A$$A$  (афелий), то мы сможем аппроксимировать площадь треугольниками с высотами, равными расстоянию от планеты до Солнца, и основанием, равным произведению скорости планеты на время.

$\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}\cdot <!--\; \cdot \; -->(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})a\cdot <!--\; \cdot \; -->V_{A}dt=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}\cdot <!--\; \cdot \; -->(1+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})a\cdot <!--\; \cdot \; -->V_{B}dt$${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1-\varepsilon )a\cdot V_{A}\,dt={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\varepsilon )a\cdot V_{B}\,dt$ 

$(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})\cdot <!--\; \cdot \; -->V_A=(1+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})\cdot <!--\; \cdot \; -->V_B$$(1-\varepsilon )\cdot V_{A}=(1+\varepsilon )\cdot V_{B}$ 

$V_A=V_B\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}{1-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}$$V_{A}=V_{B}\cdot {\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}$ 

Используя закон сохранения энергии для полной энергии планеты в точках $A$$A$  и $B$$B$ , запишем

$\frac{m{V}_A^2}{2}-<!--\; -\; -->\frac{GmM}{(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})a}=\frac{m{V}_B^2}{2}-<!--\; -\; -->\frac{GmM}{(1+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})a}$$\frac{mV_A^2}{2}-\frac{GmM}{(1-\varepsilon)a} =\frac{mV_B^2}{2}-\frac{GmM}{(1+\varepsilon)a}$ 

$\frac{V_A^2}{2}-<!--\; -\; -->\frac{V_B^2}{2}=\frac{GM}{(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})a}-<!--\; -\; -->\frac{GM}{(1+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})a}$$\frac{V_A^2}{2}-\frac{V_B^2}{2} =\frac{GM}{(1-\varepsilon)a}-\frac{GM}{(1+\varepsilon)a}$ 

$\frac{V_A^2-<!--\; -\; -->V_B^2}{2}=\frac{GM}{a}\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(\frac{1}{(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})}-<!--\; -\; -->\frac{1}{(1+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})}\right)$${\frac {V_{A}^{2}-V_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{a}}\cdot \left({\frac {1}{(1-\varepsilon )}}-{\frac {1}{(1+\varepsilon )}}\right)$ 

$\frac{{\left(V_B\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}{1-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}\right)}^2-<!--\; -\; -->V_B^2}{2}=\frac{GM}{a}\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(\frac{1+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}-<!--\; -\; -->1+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}{(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})(1+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})}\right)$$\frac{\left ( V_B\cdot\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}\right ) ^2-V_B^2}{2}=\frac{GM}{a}\cdot \left ( \frac{1+\varepsilon-1+\varepsilon}{(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)} \right )$ 

$V_B^2\cdot <!--\; \cdot \; -->{\left(\frac{1+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}{1-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}\right)}^2-<!--\; -\; -->V_B^2=\frac{2GM}{a}\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(\frac{2\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}{(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})(1+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})}\right)$$V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}\right)^{2}-V_{B}^{2}={\frac {2GM}{a}}\cdot \left({\frac {2\varepsilon }{(1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}\right)$ 

$V_B^2\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(\frac{(1+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}{)}^2-<!--\; -\; -->(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}{)}^2}{(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}{)}^2}\right)=\frac{4GM\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}{a\cdot <!--\; \cdot \; -->(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})(1+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})}$$V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {(1+\varepsilon )^{2}-(1-\varepsilon )^{2}}{(1-\varepsilon )^{2}}}\right)={\frac {4GM\varepsilon }{a\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}$ 

$V_B^2\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(\frac{1+2\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}+{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^2-<!--\; -\; -->1+2\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^2}{(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}{)}^2}\right)=\frac{4GM\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}{a\cdot <!--\; \cdot \; -->(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})(1+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})}$$V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+2\varepsilon +\varepsilon ^{2}-1+2\varepsilon -\varepsilon ^{2}}{(1-\varepsilon )^{2}}}\right)={\frac {4GM\varepsilon }{a\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}$ 

$V_B^2\cdot <!--\; \cdot \; -->4\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}=\frac{4GM\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}{)}^2}{a\cdot <!--\; \cdot \; -->(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})(1+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})}$$V_{B}^{2}\cdot 4\varepsilon ={\frac {4GM\varepsilon \cdot (1-\varepsilon )^{2}}{a\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}$ 

$V_B=\sqrt{\frac{GM\cdot <!--\; \cdot \; -->(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})}{a\cdot <!--\; \cdot \; -->(1+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})}}.$$V_{B}={\sqrt {\frac {GM\cdot (1-\varepsilon )}{a\cdot (1+\varepsilon )}}}.$ 

Теперь, когда нашли $V_B$$V_B$ , мы можем найти секторную скорость. Так как она постоянна, то можем выбрать любую точку эллипса: например, для точки B получим

$\frac{dA}{dt}=\frac{\frac{1}{2}\cdot <!--\; \cdot \; -->(1+\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->})a\cdot <!--\; \cdot \; -->V_{B}dt}{dt}=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}\cdot <!--\; \cdot \; -->(1+\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->})a\cdot <!--\; \cdot \; -->V_B$$\frac{dA}{dt}=\frac{\frac{1}{2}\cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B \,dt}{dt}= \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B$ 

$=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}\cdot <!--\; \cdot \; -->(1+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})a\cdot <!--\; \cdot \; -->\sqrt{\frac{GM\cdot <!--\; \cdot \; -->(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})}{a\cdot <!--\; \cdot \; -->(1+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})}}=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}\cdot <!--\; \cdot \; -->\sqrt{GMa\cdot <!--\; \cdot \; -->(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})(1+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})}$$={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\varepsilon )a\cdot {\sqrt {\frac {GM\cdot (1-\varepsilon )}{a\cdot (1+\varepsilon )}}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}$ 

Однако полная площадь эллипса равна $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}a\sqrt{(1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^2)}a$$\pi a{\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a$  (что равно $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}ab$$\pi a b$ , поскольку $b=\sqrt{(1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^2)}a$$b={\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a$ ). Время полного оборота, таким образом, равно

$T\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{dA}{dt}=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}a\sqrt{(1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^2)}a$$T\cdot {\frac {dA}{dt}}=\pi a{\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a$ 

$T\cdot <!--\; \cdot \; -->\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}\cdot <!--\; \cdot \; -->\sqrt{GMa\cdot <!--\; \cdot \; -->(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})(1+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})}=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\sqrt{(1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^2)}{a}^2$$T\cdot {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}=\pi {\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a^{2}$ 

$T=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\sqrt{(1-<!--\; -\; -->{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}^2)}{a}^2}{\sqrt{GMa\cdot <!--\; \cdot \; -->(1-<!--\; -\; -->\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->})(1+\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->})}}=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{a}^2}{\sqrt{GMa}}=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\sqrt{GM}}\sqrt{a^3}$$T=\frac{2\pi \sqrt{(1-\epsilon^2)}a^2}{\sqrt{GMa\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}} =\frac{2\pi a^2}{\sqrt{GMa}}= \frac{2\pi}{\sqrt{GM}}\sqrt{a^3}$ 

$T^2=\frac{4{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}{GM}{a}^3.$$T^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3.$ 

Заметим, что если масса $m$$m$  не пренебрежимо мала по сравнению с $M$$M$ , то планета будет обращаться вокруг Солнца с той же скоростью и по той же орбите, что и материальная точка, обращающаяся вокруг массы $M+m$$M+m$  (см. приведённая масса). При этом массу $M$$M$  в последней формуле нужно заменить на $M+m$$M+m$ :

$T^2=\frac{4{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}{G(M+m)}{a}^3.$$T^2=\frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3.$ 

Альтернативный расчётПравить

Рассмотрим планету как точку массой $m$$m$ , вращающейся по эллиптической орбите, в двух положениях:

1. перигелий с радиус-вектором $r_1=a-<!--\; -\; -->c$$r_{1}=a-c$ , скоростью $V_1$$V_{1}$ ;
2. афелий с радиус-вектором $r_2=c+a$$r_{2}=c+a$ , скоростью $V_2$$V_{2}$ .

Запишем закон сохранения момента импульса

$m{V}_1{r}_1=m{V}_2{r}_2$$mV_{1}r_{1}=mV_{2}r_{2}$ 

и закон сохранения энергии

$\frac{m{V}_1^2}{2}-<!--\; -\; -->\frac{GmM}{r_1}=\frac{m{V}_2^2}{2}-<!--\; -\; -->\frac{GmM}{r_2}$${\frac {mV_{1}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{r_{1}}}={\frac {mV_{2}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{r_{2}}}$  ,

где M — масса Солнца.

Решая систему, нетрудно получить соотношение на скорость планеты в точке «перигелий»:

$V_1=\sqrt{2GM\frac{r_2/r_1}{r_1+r_2}}$$V_{1}={\sqrt {2GM{\frac {r_{2}/r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}}$  .

Выразим секторную скорость (которая по второму закону Кеплера является постоянной величиной):

$V_s=1/2\cdot <!--\; \cdot \; -->V_1{r}_1=\sqrt{GM\frac{r_2{r}_1}{2(r_1+r_2)}}$$V_{s}=1/2\cdot V_{1}r_{1}={\sqrt {GM{\frac {r_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{2})}}}}$  .

Вычислим площадь эллипса, по которому движется планета. С одной стороны:

$S_{ellipse}=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}ab$$S_{ellipse}=\pi ab$ 

где $a$$a$  — длина большой полуоси, $b$$b$  — длина малой полуоси орбиты.

С другой стороны, воспользовавшись тем, что для вычисления площади сектора можно перемножить секторную скорость на период оборота:

$S_{ellipse}=V_s\cdot <!--\; \cdot \; -->T=T\cdot <!--\; \cdot \; -->\sqrt{\frac{GM{r}_2{r}_1}{2(r_1+r_2)}}$$S_{ellipse}=V_{s}\cdot T=T\cdot {\sqrt {\frac {GMr_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{2})}}}$  .

Следовательно,

$T\cdot <!--\; \cdot \; -->\sqrt{\frac{GM{r}_2{r}_1}{2(r_1+r_2)}}=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}ab$$T\cdot {\sqrt {\frac {GMr_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{2})}}}=\pi ab$  .

Для дальнейших преобразований воспользуемся геометрическими свойствами эллипса. Имеем соотношения

$c^2=a^2-<!--\; -\; -->b^2$$c^{2}=a^{2}-b^{2}$ 

$r_1+r_2=2a$$r_{1}+r_{2}=2a$ 

$r_1\cdot <!--\; \cdot \; -->r_2=a^2-<!--\; -\; -->c^2=b^2$$r_{1}\cdot r_{2}=a^{2}-c^{2}=b^{2}$ 

Подставим в формулу площади эллипса:

$T\cdot <!--\; \cdot \; -->\sqrt{GM\frac{b^2}{4a}}=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}ab$$T\cdot {\sqrt {GM{\frac {b^{2}}{4a}}}}=\pi ab$ 

Откуда окончательно получим:

$\frac{T}{a^{3/2}}=const$${\frac {T}{a^{3/2}}}=const$ 

или в традиционном виде

$\frac{T^2}{a^3}=const.$${\frac {T^{2}}{a^{3}}}=const.$ 

ПримечанияПравить

См. такжеПравить

• Закон всемирного тяготения
• Задача Бертрана
• Задача двух тел
• Задача трёх тел

ЛитератураПравить

• Кеплера законы // Энциклопедический словарь юного астронома / сост. Н. П. Ерпылев. — 2-е изд. — М.: Педагогика, 1986. — С. 121—122. — 336 с.
• Смородинский Я. A. Планеты движутся по эллипсам // Квант. — 1979. — № 12. — С. 13—19.
• Трефил, Дж. Законы Кеплера : [арх. 28 марта 2016] // Элементы. — Из кн. Трефил Дж. Природа науки. 200 законов мироздания. (Geleos, 2007.) = The Nature of Science. (2003) = James Trefil. Cassel's Laws of Nature: An A–Z of Laws and Principles Governing the Workings of Our Universe. (2002).