Вторая теорема о среднем

Вторая теорема о среднем значении касается свойств интеграла от произведения двух функций $\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)g(x)dx$$\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx$ и может быть сформулирована в разных формах. Данные ниже формулы в виде лемм обычно называют формулами Бонне и используют при доказательстве теоремы о среднем значении.

Лемма 1. Если функция f(x) не возрастает и $f(x)⩾<!--\; ⩾\; -->0$$f(x)\geqslant 0$ на отрезке [a,b], а функция g(x) интегрируема на [a,b], то существует точка $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\in <!--\; \in \; -->[a,b]$$\xi \in [a,b]$ такая, что $\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)g(x)dx=f(a)\underset{a}{\overset{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}g(x)dx$$\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(a)\int \limits _{a}^{\xi }g(x)dx$.

Лемма 2. Если функция f(x) не убывает и $f(x)⩾<!--\; ⩾\; -->0$$f(x)\geqslant 0$ на отрезке [a,b], а функция g(x) интегрируема на [a,b], то существует точка $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\in <!--\; \in \; -->[a,b]$$\xi \in [a,b]$ такая, что $\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)g(x)dx=f(b)\underset{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}g(x)dx$$\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(b)\int \limits _{\xi }^{b}g(x)dx$.

Вторая теорема о среднем значении. Если функция f(x) монотонна (нестрого) на отрезке [a,b], а функция g(x) интегрируема на [a,b], то существует точка $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\in <!--\; \in \; -->[a,b]$$\xi \in [a,b]$ такая, что $\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)g(x)dx=f(a)\underset{a}{\overset{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}g(x)dx+f(b)\underset{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}g(x)dx$$\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(a)\int \limits _{a}^{\xi }g(x)dx+f(b)\int \limits _{\xi }^{b}g(x)dx$.