Момент силы

Моме́нт си́лы (момент силы относительно точки) — векторная физическая величина, характеризующая действие силы на механический объект, которое может вызвать его вращательное движение. Определяется как векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}$${\vec {r}}$ и вектора силы $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}$$\vec{F}$. Моменты сил, образующиеся в разных условиях, в технике могут иметь названия: кру́тящий момент, враща́тельный момент, вертя́щий момент, враща́ющий момент, скру́чивающий момент.

Момент силы
$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M}=\left[\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}\right]$$\vec{M}=\left[\vec{r}\times\vec{F}\right]$
Размерность	L2MT−2
Единицы измерения
СИ	Н·м
СГС	Дина-сантиметр
Примечания
Псевдовектор

Момент силы обозначается символом $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M}$${\vec {M}}$ или, реже, $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$${\vec {\tau }}$ (тау).

Единица измерения в СИ: Н⋅м. Величина момента силы зависит от выбора начала отсчёта радиус-векторов O.

Понятие момента силы используется, в основном, в области задач статики и задач, связанных с вращением деталей (рычагов и др.) в технической механике. Особенно важен случай вращения твёрдого тела вокруг фиксированной оси — тогда O выбирают на этой оси, а вместо самого момента рассматривают его проекцию на ось $M_{\parallel <!--\; \parallel \; -->}$$M_{\parallel }$; такая проекция называется моментом силы относительно оси.

Наличие момента силы влечёт изменение момента импульса тела $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{L}$$\vec{L}$ относительно того же начала O со временем $t$$t$: имеет место соотношение $d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{L}/dt=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M}$$d{\vec {L}}/dt={\vec {M}}$. В статике равенство нулю суммы моментов всех приложенных к телу сил является одним из условий (наряду с равенством нулю суммы сил) реализации состояния покоя.

Определение, общие сведенияПравить

В физике момент силы играет роль вращающего воздействия на тело.

Видеоурок: вращающий момент

В простейшем случае, если сила $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}$$\vec{F}$  приложена к рычагу перпендикулярно ему и оси вращения, то момент силы определяется как произведение величины $F$$F$  на расстояние $x$$x$  от места приложения силы до оси вращения рычага, называемое «плечом силы»:

$M=Fx$$M=Fx$ .

Например, сила в 3 ньютона, приложенная на расстоянии 2 м от оси, создаёт такой же момент, что и сила в 1 ньютон с плечом 6 м.

Если действуют две силы, говорят о моменте пары сил (такая формулировка восходит к трудам Архимеда). При этом равновесие достигается в ситуации $F_1{x}_1=F_2{x}_2$$F_{1}x_{1}=F_{2}x_{2}$ .

Для случаев более сложных движений и более сложных объектов определение момента как произведения $Fx$$Fx$  требует универсализации.

Момент силы иногда называют вращающим или крутящим моментом. «Вращающий» момент понимается в технике как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — как внутреннее, возникающее в самом объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопромате).

Момент силы относительно точкиПравить

 

Момент силы, приложенный к гаечному ключу. Направлен от зрителя

В общем случае момент силы $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}$$\vec{F}$ , приложенной к телу, определяется как векторное произведение

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M}=\left[\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}\right]$${\vec {M}}=\left[{\vec {r}}\times {\vec {F}}\right]$ ,

где $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}$${\vec {r}}$  — радиус-вектор точки приложения силы. Вектор $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M}$${\vec {M}}$  перпендикулярен векторам $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}$${\vec {r}}$  и $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}$$\vec{F}$ .

Начало отсчета радиус-векторов O может быть любым. Обычно O выбирают в чем-либо выделенной точке: в месте закрепления подвеса, в центре масс, на оси вращения и т.д.. Если одновременно анализируется момент импульса тела $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{L}$$\vec{L}$ , то начало O всегда выбирается одинаковым для $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{L}$$\vec{L}$  и $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M}$${\vec {M}}$ .

Если не оговорено иное, то «момент силы» — это момент силы относительно точки (O), а не некоей оси.

В случае нескольких приложенных сосредоточенных сил их моменты векторно суммируются:

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M}=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}\left[{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_i\times <!--\; \times \; -->{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}}_i\right]$${\vec {M}}=\sum _{i}\left[{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}\right]$ ,

где ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_i$${\vec {r}}_{i}$  — радиус-вектор точки приложения $i$$i$ -й силы ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}}_i$${\vec {F}}_{i}$ . В случае силы, распределённой с плотностью $d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}/dV$$d{\vec {F}}/dV$ ,

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M}=\underset{V}{\int <!--\; \int \; -->}\left[\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}\times <!--\; \times \; -->\frac{d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}}{dV}\right]dV$${\vec {M}}=\int \limits _{V}\left[{\vec {r}}\times {\frac {d{\vec {F}}}{dV}}\right]dV$ .

Если $d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}/dV$$d{\vec {F}}/dV$  (Н/м³) — обобщённая функция, которая может содержать и дельтаобразные члены, то последней формулой охватываются и две предыдущие.

Момент силы относительно осиПравить

Моментом силы относительно оси называется алгебраическое значение проекции момента $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M}$${\vec {M}}$  на ось, то есть

$M_{\parallel <!--\; \parallel \; -->}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_o$$M_{\parallel }={\vec {M}}\cdot {\vec {e}}_{o}$ ,

где ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_o$${\vec {e}}_{o}$  — единичный вектор вдоль оси, а начало отсчёта O выбрано на оси. Момент силы относительно оси может быть рассчитан как

$M_{\parallel <!--\; \parallel \; -->}=\pm <!--\; \pm \; -->\left|{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_{\perp <!--\; \perp \; -->}\times <!--\; \times \; -->{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}}_{\perp <!--\; \perp \; -->}\right|$$M_{\parallel }=\pm \left|{\vec {r}}_{\perp }\times {\vec {F}}_{\perp }\right|$ ,

где через ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}_{\perp <!--\; \perp \; -->}$${\vec {r}}_{\perp }$  и ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}}_{\perp <!--\; \perp \; -->}$${\vec {F}}_{\perp }$  обозначены составляющие радиус-вектора и силы в плоскости, перпендикулярной оси.

В отличие от момента силы $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M}$${\vec {M}}$ , величина момента силы относительно оси $M_{\parallel <!--\; \parallel \; -->}$$M_{\parallel }$  не претерпевает изменения при сдвиге точки O вдоль оси.

Для краткости символ параллельности и знак могут опускаться, а $M_{\parallel <!--\; \parallel \; -->}$$M_{\parallel }$  (как и $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M}$${\vec {M}}$ ) именоваться «моментом силы».

Единицы измеренияПравить

Момент силы имеет размерность «сила, умноженная на расстояние» и единицу измерения ньютон-метр в системе СИ. 1 Н·м — это момент, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м, приложенная к концу рычага и направленная перпендикулярно ему.

Формально, размерность $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M}$${\vec {M}}$  (Н·м) совпадает с размерностями энергии и механической работы.

Некоторые примерыПравить

Формула момента рычагаПравить

 

Момент, действующий на рычаг

Момент силы, действующей на рычаг, равен

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M}=rF\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_o$${\vec {M}}=rF\sin \alpha \cdot {\vec {e}}_{o}$ 

или, если записать момент силы относительно оси,

$M_{\parallel <!--\; \parallel \; -->}=rF\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$M_{\parallel }=rF\sin \alpha$ ,

где $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  — угол между направлением силы и рычагом. Плечо силы равно $r\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$r\sin \alpha$ . Максимальное значение момента достигается при перпендикулярности рычага и силы, то есть при $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2$$\alpha =\pi /2$ . При сонаправленности $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}$$\vec{F}$  и рычага момент равен нулю.

Статическое равновесиеПравить

Для того чтобы объект находился в равновесии, должна равняться нулю не только сумма всех сил, но и сумма моментов всех сил вокруг любой точки.

Для двумерного случая с горизонтальными и вертикальными силами требование сводится к тому, чтобы нулевыми были сумма сил в двух измерениях: $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}{F}_{horizontal}=0,\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}{F}_{vertical}=0$$\Sigma F_{horizontal}=0,\,\Sigma F_{vertical}=0$  и момент силы в третьем измерении: $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}M=0$$\Sigma M=0$ .

Движение твёрдого телаПравить

Движение твёрдого тела можно представить как движение конкретной точки и вращения вокруг неё.

Момент импульса относительно точки O твёрдого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости относительно центра масс и линейного движения центра масс.

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{L_o}=I_c\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}+[M(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r_o}-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r_c}),\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v_c}].$${\vec {L_{o}}}=I_{c}\,{\vec {\omega }}+[M({\vec {r_{o}}}-{\vec {r_{c}}}),{\vec {v_{c}}}].$ 

Будем рассматривать вращающиеся движения в системе координат Кёнига, так как описывать движение твёрдого тела в мировой системе координат гораздо сложнее.

Продифференцируем это выражение по времени. И если $I$$I$  — постоянная величина во времени, то

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M}=I\frac{d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}}{dt}=I\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}},$${\vec {M}}=I{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}=I{\vec {\alpha }},$ 

где $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$${\vec {\alpha }}$  — угловое ускорение, измеряемое в радианах в секунду за секунду (рад/с²). Пример: вращается однородный диск.

Если тензор инерции меняется со временем, то движение относительно центра масс описывается с помощью динамического уравнения Эйлера:

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M_c}=I_c\frac{d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}}{dt}+[\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{w},I_c\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{w}].$${\vec {M_{c}}}=I_{c}{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}+[{\vec {w}},I_{c}{\vec {w}}].$ 

Связь с другими величинамиПравить

С моментом импульсаПравить

 

Зависимости между силой F, моментом силы τ (M), импульсом p и моментом импульса L в системе, которая была ограничена только в одной плоскости (силы и моменты, обусловленные тяжестью и трением, не учитываются).

Момент силы — производная момента импульса $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{L}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{p}$${\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}$  относительно точки O по времени:

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M}=\frac{d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{L}}{dt}$${\vec {M}}={\frac {d{\vec {L}}}{dt}}$ ,

Аналогичную формулу можно записать для моментов относительно оси:

$M_{\parallel <!--\; \parallel \; -->}=\frac{d{L}_{\parallel <!--\; \parallel \; -->}}{dt}$$M_{\parallel }={\frac {dL_{\parallel }}{dt}}$ .

Если момент силы $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M}$${\vec {M}}$  или $M_{\parallel <!--\; \parallel \; -->}$$M_{\parallel }$  равен нулю, момент импульса относительно соответствующей точки или оси сохраняется.

С мощностьюПравить

Если сила совершает действие на каком-либо расстоянии, то она совершает механическую работу и развивает мощность $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}$${\vec {F}}\cdot {\vec {v}}$  (где $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}$$\vec{v}$  — скорость материальной точки). Так же и в случае момента силы: если он совершает действие через «угловое расстояние», развивается мощность

$P=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$$P={\vec {M}}\cdot {\vec {\omega }}$ .

В системе СИ мощность $P$$P$  измеряется в ваттах, угловая скорость $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$$\vec{\omega}$  — в радианах в секунду.

С механической работойПравить

Если под действием момента силы $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M}$${\vec {M}}$  происходит поворот тела на угол $d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$d\varphi$ , то совершается механическая работа

$dA=\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M}\right|d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$dA=\left|{\vec {M}}\right|d\varphi$ .

Для поворота, скажем, рычага вокруг фиксированной оси на угол ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1$$\varphi _{2}-\varphi _{1}$  получим

$A={\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1}^{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2}\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M}\right|d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M}\right|({\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1)=\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M}\right|{\int <!--\; \int \; -->}_{t_1}^{t_2}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(t)dt$$A=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\left|{\vec {M}}\right|d\varphi =\left|{\vec {M}}\right|(\varphi _{2}-\varphi _{1})=\left|{\vec {M}}\right|\int _{t_{1}}^{t_{2}}\omega (t)dt$ .

В системе СИ работа $A$$A$  измеряется в джоулях, угол — в радианах.

Размерность работы (и энергии) совпадает с размерностью момента силы («ньютон-метр» и джоуль — это одни и те же единицы). Момент силы 1 Н·м, при повороте рычага или вала на 1 радиан совершает работу в 1 Дж, а при повороте на один оборот совершает механическую работу и сообщает энергию $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$  джоуля.

Измерение момента силыПравить

Измерение момента силы осуществляется с помощью специальных приборов — торсиометров. Принцип их действия обычно основан на измерении угла закручивания упругого вала, передающего крутящий момент, либо на измерении деформации некоторого упругого рычага. Измерения деформации и угла закручивания производится различными датчиками деформации — тензометрическими, магнитоупругими, а также измерителями малых перемещений — оптическими, ёмкостными, индуктивными, ультразвуковыми, механическими.

Существуют специальные динамометрические ключи для измерения крутящего момента затягивания резьбовых соединений и регулируемые и нерегулируемые ограничители крутящего момента, так называемые «трещотки», применяемые в гаечных ключах, шуруповёртах, винтовых микрометрах и др.

Из истории понятияПравить

Для того чтобы понять, откуда появилось понятие момента сил и как к нему пришли, стоит рассмотреть действие силы на рычаг, поворачивающийся относительно неподвижной оси. Работа, совершаемая при действии силы $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}$${\vec {F}}$  на рычаг $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}$${\vec {r}}$ , совершающий вращательное движение вокруг неподвижной оси, может быть рассчитана исходя из следующих соображений.

Пусть под действием силы конец рычага смещается на бесконечно малый отрезок $dl$$dl$ , которому соответствует бесконечно малый угол $d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$d\varphi$ . Обозначим через $d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{l}$$d{\vec {l}}$  вектор, который направлен вдоль бесконечно малого отрезка $dl$$dl$  и равен ему по модулю. Угол между векторами $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}$${\vec {F}}$  и $d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{l}$$d{\vec {l}}$  равен $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$ , а угол между векторами $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}$${\vec {r}}$  и $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}$${\vec {F}}$  равен $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ .

Следовательно, бесконечно малая работа $dA$$dA$ , совершаемая силой $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}$${\vec {F}}$  на бесконечно малом участке $dl$$dl$ , равна скалярному произведению вектора $d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{l}$$d{\vec {l}}$  и вектора силы, то есть $dA=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}\cdot <!--\; \cdot \; -->d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{l}$$dA={\vec {F}}\cdot d{\vec {l}}$ .

Теперь попытаемся выразить модуль вектора $d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{l}$$d{\vec {l}}$  через радиус-вектор $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}$${\vec {r}}$ , а проекцию вектора силы $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}$${\vec {F}}$  на вектор $d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{l}$$d{\vec {l}}$  — через угол $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ .

Так как для бесконечно малого перемещения рычага $dl$$dl$  можно считать, что траектория перемещения перпендикулярна рычагу $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}$${\vec {r}}$ , используя соотношения для прямоугольного треугольника, можно записать следующее равенство: $dl=r\mathrm{t}\mathrm{g}d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$dl=r\mathrm {tg} \,d\varphi$ , где в случае малого угла справедливо $\mathrm{t}\mathrm{g}d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\mathrm {tg} \,d\varphi =d\varphi$  и, следовательно, $\left|d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{l}\right|=\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}\right|d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\left|d{\vec {l}}\right|=\left|{\vec {r}}\right|d\varphi$ .

Для проекции вектора силы $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}$${\vec {F}}$  на вектор $d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{l}$$d{\vec {l}}$  видно, что угол $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\beta ={\frac {\pi }{2}}-\alpha$ , а так как $\cos <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\right)=\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\cos {\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)}=\sin \alpha$ , получаем, что $\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}\right|\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}\right|\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\left|{\vec {F}}\right|\cos \beta =\left|{\vec {F}}\right|\sin \alpha$ .

Теперь запишем бесконечно малую работу через новые равенства: $dA=\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}\right|d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}\right|\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$dA=\left|{\vec {r}}\right|d\varphi \left|{\vec {F}}\right|\sin \alpha$ , или $dA=\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}\right|\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}\right|\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$dA=\left|{\vec {r}}\right|\left|{\vec {F}}\right|\sin \alpha \,d\varphi$ .

Видно, что произведение $\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}\right|\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}\right|\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\left|{\vec {r}}\right|\left|{\vec {F}}\right|\sin \alpha$  есть не что иное, как модуль векторного произведения векторов $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}$${\vec {r}}$  и $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}$${\vec {F}}$ , то есть $\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}\right|$$\left|{\vec {r}}\times {\vec {F}}\right|$ , которое и было принято обозначить за момент силы $M$$M$ , или модуль вектора момента силы $\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M}\right|$$\left|{\vec {M}}\right|$ .

Теперь полная работа записывается просто: $A=\underset{0}{\overset{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}\right|d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$A=\int \limits _{0}^{\varphi }\left|{\vec {r}}\times {\vec {F}}\right|d\varphi$ , или $A=\underset{0}{\overset{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\left|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M}\right|d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$A=\int \limits _{0}^{\varphi }\left|{\vec {M}}\right|d\varphi$ .

См. такжеПравить

• Момент инерции
• Момент импульса
• Теорема Вариньона