Крутильный маятник

Крути́льный ма́ятник (также торсио́нный ма́ятник, враща́тельный ма́ятник) — механическая система, представляющая собой тело, которое может вращаться вокруг одной оси, с упругим элементом и обладающее лишь одной степенью свободы: вращением вокруг этой оси, задаваемой подвесом. Если при повороте тела в упругом элементе возникает момент силы $M,$$M,$ пропорциональный углу поворота $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ с обратным знаком к углу поворота, $(M=-<!--\; -\; -->\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}),$$(M=-\kappa \varphi ),$ причём, если силы трения в системе малы, то тело может колебаться по гармоническому закону с периодом $T:$$T:$

Видео колебаний крутильного маятника

$T=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\sqrt{\frac{I}{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}},$$T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{\kappa }}},$

где $I$$I$ — момент инерции тела относительно оси кручения,

$\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}$$\kappa$ — вращательный коэффициент жёсткости упругого элемента.

Крутильный маятник специальной конструкции представляет собой очень чувствительный к малым силам физический прибор. Именно с помощью крутильного маятника изучается, например, гравитационное взаимодействие тел в лаборатории и проверяется закон всемирного тяготения на субмиллиметровом масштабе.

Крутильным маятником является балансир — деталь спускового механизма механических часов, вращательные колебания которого задают темп ход часов и определяют точность их хода.

В 2005 году было опубликовано сообщение о создании крутильного маятника, торсионный подвес которого выполнен из одной молекулы — углеродной нанотрубке со стенкой толщиной в один атомный слой.

Крутильный маятник как гармонический осцилляторПравить

Обозначения

Обозначение	Размерность	Определение
$\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$	рад	Угол отклонения от положения равновесия
$I$$I$	кг·м2	Момент инерции
$\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$	Дж·с·рад−1	Коэффициент вязкого трения
$\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}$$\kappa$	Н·м·рад−1	Торсионная жёсткость подвеса
$\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$	Н·м	Крутящий момент
$f_n$$f_n$	Гц	Собственная частота колебаний маятника без трения
$T_n$$T_{n}$	с	Период собственных колебаний маятника без трения
${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_n$$\omega _{n}$	рад·с−1	Собственная частота осциллятора без трения
$f$$f$	Гц	Собственная частота колебаний маятника с трением
$\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$	рад·с−1	Круговая частота собственных колебаний с трением
$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$	с−1	Величина обратная постоянной времени затухания колебаний
$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$	рад	Фаза колебаний
$L$$L$	m	Расстояние от оси вращения до точки приложения силы

Крутильные весы, крутильные маятники и балансиры часов по сути являются крутильными гармоническими осцилляторами, которые могут испытывать гармонические вращательные колебания вокруг оси торсионного упругого элемента. Математически такие системы аналогичны пружинным осцилляторам — грузикам с пружиной, закреплённой с одного конца. Общее дифференциальное уравнение движения крутильного осциллятора:

$I\frac{d^2\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{d{t}^2}+\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\frac{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{dt}+\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}(t).$$I{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sigma {\frac {d\theta }{dt}}+\kappa \theta =\tau (t).$ 

Если степень затухания (демпфирования) небольшое, что математически означает $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\ll <!--\; \ll \; -->\sqrt{\frac{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}{I}},$$\sigma \ll {\sqrt {\frac {\kappa }{I}}},$  частота колебаний крутильного осциллятора очень близка к собственной резонансной частоте системы $f_n:$$f_{n}:$ 

$f_n=\frac{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_n}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\sqrt{\frac{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}{I}}.$$f_{n}={\frac {\omega _{n}}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {\kappa }{I}}}.$ 

Выражение для периода колебаний:

$T_n=\frac{1}{f_n}=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_n}=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\sqrt{\frac{I}{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}}.$$T_{n}={\frac {1}{f_{n}}}={\frac {2\pi }{\omega _{n}}}=2\pi {\sqrt {\frac {I}{\kappa }}}.$ 

Общее решение в случае отсутствия внешней вынуждающей силы, то есть $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}(t)=0$$\tau (t)=0$  называется решением для переходного процесса:

$\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=A{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}t}\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}),$$\theta =Ae^{-\alpha t}\cos {(\omega t+\varphi )}~,$ 

где $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}/2I;$$\alpha =\sigma /2I;~$  $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\sqrt{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_n^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2}=\sqrt{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}/I-<!--\; -\; -->(\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}/2I{)}^2}.$$\omega ={\sqrt {\omega _{n}^{2}-\alpha ^{2}}}={\sqrt {\kappa /I-(\sigma /2I)^{2}}}~.$ 

См. такжеПравить

• Эксперимент Кавендиша
• Крутильные весы
• Торсион