Волны Рэлея

Во́лны Рэле́я — поверхностные акустические волны. Названы в честь Рэлея, теоретически предсказавшего их в 1885 году.

Схема волны Рэлея. Показана деформация тела и траектория движения выделенной точки. Для наглядности деформации и смещения утрировано увеличены.

ОписаниеПравить

Волны Рэлея распространяются вблизи поверхности твердого тела. Фазовая скорость таких волн направлена параллельно поверхности. Частицы среды в такой волне совершают эллиптическое движение в сагиттальной плоскости (в которой лежат вектор скорости и нормали к поверхности). Амплитуды колебаний затухают при удалении от поверхности по экспоненциальным законам и энергия волны сосредоточена в области на расстоянии порядка длины волны от поверхности.

Волна Рэлея в изотропном телеПравить

Уравнение движения бесконечно малого объёма однородной, изотропной и идеально упругой среды с плотностью ρ можно записать в виде:

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2\mathbf{\text{U}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathbf{\text{U}}+(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}+\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})\text{grad}\text{div}\mathbf{\text{U}},$$\rho\frac{\partial^2 \textbf{U}}{\partial t^2}=\mu\Delta\textbf{U}+(\lambda+\mu)\,\textrm{grad}\,\textrm{div}\textbf{U},$

(1)

где U — смещение бесконечного малого объёма относительно равновесного положения, λ и μ — упругие постоянные, Δ — оператор Лапласа. Для данного волнового уравнения решения ищутся в виде суперпозиции поперечных и продольных смещений U=U_t+U_l, где U_l=grad φ и U_t=rot ψ. φ и ψ — скалярный и векторный потенциалы. Уравнение (1) для новых неизвестных представляет собой волновые уравнения для независимых компонент смещений:

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{\mathbf{\text{U}}}_l}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}-<!--\; -\; -->(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}+2\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{\mathbf{\text{U}}}_l=0,$$\rho\frac{\partial^2 \textbf{U}_l}{\partial t^2}-(\lambda+2\mu)\Delta\textbf{U}_l=0,$

(2.1)

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{\mathbf{\text{U}}}_t}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{\mathbf{\text{U}}}_t=0.$$\rho\frac{\partial^2 \textbf{U}_t}{\partial t^2}-\mu\Delta\textbf{U}_t=0.$

(2.2)

Если волна распространяется по оси x, то можно рассмотреть для изотропного случая только колебания в плоскости (x, z). Принимая во внимание независимость компонент от y для плоской гармонической волны, волновые уравнения для потенциалов примут вид:

$\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}^2}-<!--\; -\; -->k_l^2\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}=0,$$\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}-k_l^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}=0,$

(3.1)

$\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}^2}-<!--\; -\; -->k_t^2\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}=0,$$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}-k_t^2\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}=0,$

(3.2)

где $k_l=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\sqrt{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}/(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}+2\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})},$$k_l=\omega\sqrt{\rho/(\lambda+2\mu)},$  $k_t=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\sqrt{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}/\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}},$$k_t=\omega\sqrt{\rho/\mu},$  — волновые числа для продольных и поперечных волн. Решения этих уравнений, если взять только затухающие решения представляются в виде плоских волн:

$\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}=A\text{exp}[-<!--\; -\; -->qz+i(kx-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)],$$\phi=A\textrm{exp}[-qz+i(kx-\omega t)],$

(4.1)

$\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=B\text{exp}[-<!--\; -\; -->sz+i(kx-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)],$$\psi=B\textrm{exp}[-sz+i(kx-\omega t)],$

(4.2)

где $q^2=k^2-<!--\; -\; -->k_l^2$$q^2=k^2-k_l^2$ ; $s^2=k^2-<!--\; -\; -->k_t^2$$s^2=k^2-k_t^2$ ; $k^2>k_t^2>k_l^2$$k^2>k_t^2>k_l^2$ ; A и B — произвольные постоянные. Эти решения представляют собой общее решение волнового уравнения для затухающей волны, а для нахождения частного решения нужно задать граничные условия на поверхности среды.

Компоненты смещения представляются в виде:

$U_x=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z},$$U_x=\frac{\partial \phi}{\partial x}-\frac{\partial \psi}{\partial z},$

(5.1)

$U_z=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}.$$U_z=\frac{\partial \phi}{\partial z}+\frac{\partial \psi}{\partial x}.$

(5.1)

В случае свободной границы значение компонентов тензора напряжений принимают нулевые значение:

$T_{zz}=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\left(\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}^2}\right)+2\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\left(\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}^2}-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}\right)=0,$$T_{zz}=\lambda\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}\right)+2\mu\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}-\frac{\partial^2 \psi}{\partial x\partial z}\right)=0,$

(6.1)

$T_{xz}=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\left(2\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}^2}\right)=0.$$T_{xz}=\mu \left(2{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial z}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right)=0.$

(6.2)

После подставления решений (4) получится однородная система линейных уравнений относительно амплитуд A и B, которая имеет нетривиальное решение только если детерминант системы равен нулю (уравнение Рэлея), а именно:

${\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}^6-<!--\; -\; -->8{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}^4+8(3-<!--\; -\; -->2{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2){\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}^2-<!--\; -\; -->16(1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}^2)=0,$$\eta^6-8\eta^4+8(3-2\xi^2)\eta^2-16(1-\xi^2)=0,$

(6)

где $\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}=k_t/k$$\eta=k_t/k$ , $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}=k_l/k_t$$\xi=k_l/k_t$ . Это уравнение имеет единственный корень, относящийся к рэлеевской волне, который зависит только от коэффициента Пуассона ν:

${\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_R=\frac{0,87+1,12\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{1+\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}.$$\eta_R=\frac{0,87+1,12\nu}{1+\nu}.$

(7)

Отсюда находятся компоненты смещений для рэлеевской волны:

$U_x=A{k}_R\left(\text{exp}(-<!--\; -\; -->q_{R}z)-<!--\; -\; -->\frac{2q_R{s}_R}{k_R^2+s_R^2}\text{exp}(-<!--\; -\; -->s_{R}z)\right)\text{exp}\left[i\left(k_{R}x-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}\right)\right],$$U_x=Ak_R\left(\textrm{exp}(-q_Rz)-\frac{2q_Rs_R}{k_R^2+s_R^2}\textrm{exp}(-s_Rz)\right)\textrm{exp}\left[i\left(k_Rx-\omega t-\frac{\pi}{2}\right)\right],$

(8.1)

$U_z=A{q}_R\left(\text{exp}(-<!--\; -\; -->q_{R}z)-<!--\; -\; -->\frac{2k_R^2}{k_R^2+s_R^2}\text{exp}(-<!--\; -\; -->s_{R}z)\right)\text{exp}\left[i\left(k_{R}x-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t\right)\right].$$U_z=Aq_R\left(\textrm{exp}(-q_Rz)-\frac{2k_R^2}{k_R^2+s_R^2}\textrm{exp}(-s_Rz)\right)\textrm{exp}\left[i\left(k_Rx-\omega t\right)\right].$

(8.2)

 

Дисперсионная кривая псевдорэлеевских волн

Практическое применение волн рэлеевского типаПравить

Волны рэлеевского типа (псевдорэлеевские волны) успешно применяются в инженерной сейсморазведке для изучения упругих параметров пород и грунтов находящихся за обделкой тоннелей, железобетонными, бетонными плитами, каменной кладкой или дорожной одеждой. В случае увеличения скоростей с глубиной (как правило, при исследованиях с дневной поверхности) скорости поперечных волн в нижнем слое определяются по дисперсионным кривым псевдорэлеевских волн (см. рисунок). Этот способ широко используется практически и обоснован с точки зрения теории упругости.

ЛитератураПравить

• Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. — М.: Наука, 1981. — 287 с.