Волны Лява

Во́лны Ля́ва — упругая волна с горизонтальной поляризацией. Может быть как объёмной, так и поверхностной. Названа в честь английского математика Огастеса Эдварда Хафа Лява (англ. Augustus Edward Hough Love), исследовавшего этот тип волн в приложении к сейсмологии в 1911 году.

Волна Лява на сейсмограмме

ОписаниеПравить

Волны Лява имеют горизонтальную поляризацию; именно, в однородной изотропной среде смещение частиц в этой волне перпендикулярно вектору скорости. Если сагиттальную плоскость задать в плоскости (x, z) с осью z, направленной вглубь материала, то они описываются плоской волной с частотой ω вида

$U_y=A\text{exp}[i(k_{t}x-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)],$$U_{y}=A{\textrm {exp}}[i(k_{t}x-\omega t)],$ 

где k_t — волновое число, A — амплитуда. Это объёмное решение обычно не представляет интереса. Если полупространство, заполненное однородной изотропной средой, покрыто тонким слоем материала со скоростью звука меньшей, чем в объёме, то возникает поверхностная волна с затухающей амплитудой.

Изотропная средаПравить

В случае изотропной, однородной и идеально упругой среды, заполняющей полупространство z>0, с плотностью ρ_i, уравнение движения для смещений U можно записать в виде

${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_i\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{\mathbf{\text{U}}}^i}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_i\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{\mathbf{\text{U}}}^i,$$\rho _{i}{\frac {\partial ^{2}{\textbf {U}}^{i}}{\partial t^{2}}}=\mu _{i}\Delta {\textbf {U}}^{i},$

(1)

где для поперечной волны U=(0,U_y,0), индекс i пробегает значения 1 и 2 для тонкого слоя материала толщиной h и для объёмного материала, заполняющего пространство; z>h.

Полное решение этого уравнения задаётся в виде

$U_y^{(1)}=(B\sin <!--\; \; -->s_{1}z+C\cos <!--\; \; -->s_{1}z)\exp <!--\; \; -->[i(kx-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)],$$U_{y}^{(1)}=(B\sin {s_{1}z}+C\cos {s_{1}z})\exp {[i(kx-\omega t)]},$

(2.1)

$U_y^{(2)}=A\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->s_{2}z)\exp <!--\; \; -->[i(kx-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)],$$U_{y}^{(2)}=A\exp {(-s_{2}z)}\exp {[i(kx-\omega t)]},$

(2.2)

где $s_1=\sqrt{k_{t1}^2-<!--\; -\; -->k^2}$$s_{1}={\sqrt {k_{t1}^{2}-k^{2}}}$ , $s_2=\sqrt{k^2-<!--\; -\; -->k_{t2}^2}$$s_{2}={\sqrt {k^{2}-k_{t2}^{2}}}$ . Из граничных условий отсутствия напряжений на границе двух сред и непрерывности касательных смещений напряжений на поверхности можно получить систему линейных однородных уравнений для амплитуд A, B, C, которая имеет нетривиальное решение при равенстве определителя системы нулю:

$\tan <!--\; \; -->s_{1}h=\frac{{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_2{s}_2}{{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1{s}_1},$$\tan {s_{1}h}={\frac {\mu _{2}s_{2}}{\mu _{1}s_{1}}},$

(3)

которое имеет множество решений. Амплитуды смещений описываются выражением:

$U_y^{(1)}=A\cos <!--\; \; -->s_1(z+h)\exp <!--\; \; -->[i(kx-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)],$$U_{y}^{(1)}=A\cos {s_{1}(z+h)}\exp {[i(kx-\omega t)]},$

(4.1)

$U_y^{(2)}=A\cos <!--\; \; -->s_{1}h\exp <!--\; \; -->[i(kx-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)-<!--\; -\; -->s_{2}z].$$U_{y}^{(2)}=A\cos {s_{1}h}\exp {[i(kx-\omega t)-s_{2}z]}.$

(4.2)

Когда скорость звука в поверхностном слое меньше, чем в объёме, то уравнение (3) имеет действительные решения, лежащие в области $k_{t1}>k>k_{t2}$$k_{t1}>k>k_{t2}$ . Этих корней тем больше, чем больше произведение $k_{t2}h$$k_{t2}h$ . В пределе малой толщины $k_{t2}h\to <!--\; \to \; -->0$$k_{t2}h\rightarrow 0$  существует только одна волна Лява:

$U_y^{(1)}=A\exp <!--\; \; -->[i(kx-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)],$$U_{y}^{(1)}=A\exp {[i(kx-\omega t)]},$

(5.1)

$U_y^{(2)}=A\exp <!--\; \; -->[i(kx-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)-<!--\; -\; -->s_{2}z],$$U_{y}^{(2)}=A\exp {[i(kx-\omega t)-s_{2}z]},$

(5.2)

$k=k_{t2}\left[1+\frac{1}{2}{k}_{t2}^2{h}^2\frac{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1^2}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_2^2}\left(1-<!--\; -\; -->\frac{c_{t1}^2}{c_{t2}^2}\right)\right],$$k=k_{t2}\left[1+{\frac {1}{2}}k_{t2}^{2}h^{2}{\frac {\rho _{1}^{2}}{\rho _{2}^{2}}}\left(1-{\frac {c_{t1}^{2}}{c_{t2}^{2}}}\right)\right],$

(5.3)

$s_2=k_{t2}\left(1-<!--\; -\; -->\frac{c_{t1}^2}{c_{t2}^2}\right)k_{t2}h\frac{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_2}.$$s_{2}=k_{t2}\left(1-{\frac {c_{t1}^{2}}{c_{t2}^{2}}}\right)k_{t2}h{\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}}.$

(5.4)

ЛитератураПравить

• Викторов И. А. . Звуковые поверхностные волны в твёрдых телах. — М.: Наука, 1981. — 287 с.
• Парийский Н. Н., Перцев Б. П.  Об определении числа Лява по приливным изменениям вращения сжимаемой Земли // Изв. АН СССР. Физика Земли. — 1972. — № 3. — С. 11—14.