Внешне не связанные уравнения

Вне́шне несвя́занные уравне́ния (англ. Seemingly Unrelated Regressions (SUR)) — система эконометрических уравнений, каждое из которых является самостоятельным уравнением со своей зависимой и объясняющими экзогенными переменными. Модель предложена Зельнером в 1968 году. Важной особенностью данных уравнений является то, что несмотря на кажущуюся несвязанность уравнений их случайные ошибки предполагаются коррелированными между собой.

Математическая модельПравить

Пусть имеется m эконометрических линейных уравнений, каждое из которых в матричной форме можно записать следующим образом:

$y_i=X_i{b}_i+{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_i,i=1,\dots <!--\; \dots \; -->,m$$y_{i}=X_{i}b_{i}+\varepsilon _{i}~,~i=1,\ldots ,m$ 

Предполагается, что случайная ошибка каждого уравнения удовлетворяет классическим предположениям об отсутствии гетероскедастичности и автокорреляции, то есть ковариационная матрица вектора случайных ошибок каждого уравнения имеет вид: $V({\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_i)={\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i^2{I}_n$$V(\varepsilon _{i})=\sigma _{i}^{2}I_{n}$ . Тем не менее, может иметь место корреляция случайных ошибок между уравнениями (в одном и том же наблюдении). Кроме того, дисперсии случайных ошибок в разных уравнениях, вообще говоря, не одинаковы. Обозначим ковариации между случайными ошибками в разных уравнениях ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{ij}$$\sigma_{ij}$ . Тогда для каждого наблюдения вектор случайных ошибок уравнений имеет ковариационную матрицу $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}=[{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{ij}]$$\Sigma =[\sigma _{{ij}}]$ .

Введём обозначения

$y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮<!--\; ⋮\; -->\\ y_m\end{array}\right),$$y={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{m}\end{pmatrix}}~,$  $X={\begin{pmatrix}X_{1}&0&\ldots &0\\0&X_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &X_{m}\end{pmatrix}}~,$  $b=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮<!--\; ⋮\; -->\\ b_m\end{array}\right),$$b={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}~,$  $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_1\\ {\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_2\\ ⋮<!--\; ⋮\; -->\\ {\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_m\end{array}\right)$$\varepsilon ={\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\vdots \\\varepsilon _{m}\end{pmatrix}}$ 

Тогда можно модель представить в следующем виде, аналогичном обычной линейной регрессии:

$y=Xb+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$y=Xb+\varepsilon$ 

Ковариационная матрица вектора случайных ошибок такой модели будет иметь блочный вид, каждый из блоков которой равен ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{ij}{I}_n$$\sigma _{{ij}}I_{n}$ . Это упрощённо можно записать через матрицу $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\Sigma$  с помощью произведения Кронекера:

$V(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})=\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}\otimes <!--\; \otimes \; -->I_n$$V(\varepsilon )=\Sigma \otimes I_{n}$ 

Методы оценкиПравить

Поскольку каждое уравнение по предположению удовлетворяет классическим предположениям, то можно применить обычный метод наименьших квадратов для оценки их параметров. Однако, такой подход не учитывает дополнительную информацию о корреляциях между уравнениями. Более эффективные оценки можно получить, если использовать обобщённый метод наименьших квадратов:

${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}}_{SUR}=(X^T{V}^{-<!--\; -\; -->1}X)X^T{V}^{-<!--\; -\; -->1}y,V^{-<!--\; -\; -->1}={\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}\otimes <!--\; \otimes \; -->I_n$${\hat {b}}_{{SUR}}=(X^{T}V^{{-1}}X)X^{T}V^{{-1}}y~,~V^{{-1}}=\Sigma ^{{-1}}\otimes I_{n}$ 

Однако, проблема применения обобщённого МНК, как известно, заключается в неизвестности ковариационной матрицы ошибок, в данном случае матрицы $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\Sigma$ . Поэтому используется следующая двухшаговая процедура доступного обобщённого МНК (FGLS). На первом шаге применяется обычный МНК и находятся остатки уравнений. На основании этих остатков оценивается матрица $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\Sigma$  : ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}}_{ij}=e_i^T{e}_j/n$${\hat \sigma }_{{ij}}=e_{i}^{T}e_{j}/n$  и далее применяется обобщённый МНК. Теоретически процедуру можно продолжить итеративно используя вновь полученные остатки для повторной оценки ковариационной матрицы и применения обобщённого МНК.

Полученные таким образом оценки являются состоятельными и асимптотически нормальными. Очевидно, если матрица $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\Sigma$  диагональна, то есть когда случайные ошибки разных уравнений не коррелируют между собой, то такие оценки совпадут с оценками обычного МНК. То же самое имеет место, когда все уравнения содержат один и тот же набор переменных, то есть $X_1=X_2=...=X_m$$X_{1}=X_{2}=...=X_{m}$ .

Кроме указанных основных подходов возможно также применение метода максимального правдоподобия при предположении о нормальности распределения случайных ошибок.

См. такжеПравить

• Система одновременных уравнений
• Метод наименьших квадратов