Вмороженность магнитного поля

Вмороженность магнитного поля — эффект сохранения магнитного потока через замкнутый проводящий контур при его деформации. Магнитные силовые линии и частицы среды жестко связаны друг с другом, и перемещаются вместе со средой, то есть как бы вморожены в неё, например, при сжатии среды магнитные силовые линии также уплотняются.

Наблюдается преимущественно в жидких и газообразных средах с высокой проводимостью, например, в плазме. Электрическое поле индуцируемое движением среды должно быть равно нулю, иначе, в соответствии с законом Ома, в среде возник бы бесконечный ток, что невозможно. Поэтому, в силу закона об электро-магнитной индукции Фарадея, бесконечно проводящая среда не должна пересекать силовые линии магнитного поля.

ИсторияПравить

Первым идею вмороженности магнитного поля в идеально проводящую плазму выдвинул Ханнес Альвен в 1942 году.

Математическое описаниеПравить

В жидкости с бесконечной электропроводностью изменение магнитного потока во времени можно записать как:

$\frac{d{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_B}{dt}={\int <!--\; \int \; -->}_S\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{B}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\cdot <!--\; \cdot \; -->d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{S}+{\oint <!--\; \oint \; -->}_C\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{B}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}\times <!--\; \times \; -->d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{l},$${d\Phi _{B} \over dt}=\int _{S}{\partial {\vec {B}} \over \partial t}\cdot d{\vec {S}}+\oint _{C}{\vec {B}}\cdot {\vec {v}}\times d{\vec {l}},$ 

где $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{B}$${\vec {B}}$  - индукция магнитного поля $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}$$\vec{v}$  - скорость, $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{S}$${\vec {S}}$  - поверхность, ограниченная произвольной кривой $C$$C$ , $d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{l}$$d{\vec {l}}$  - линейный элемент. Используя уравнение Максвелла

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{B}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}\times <!--\; \times \; -->(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{B}),$${\partial {\vec {B}} \over \partial t}={\vec {\nabla }}\times ({\vec {v}}\times {\vec {B}}),$ 

получаем

$\frac{d{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_B}{dt}={\int <!--\; \int \; -->}_S\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}\times <!--\; \times \; -->(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{B})\cdot <!--\; \cdot \; -->d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{S}+{\oint <!--\; \oint \; -->}_C\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{B}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}\times <!--\; \times \; -->d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{l}.$${d\Phi _{B} \over dt}=\int _{S}{\vec {\nabla }}\times ({\vec {v}}\times {\vec {B}})\cdot d{\vec {S}}+\oint _{C}{\vec {B}}\cdot {\vec {v}}\times d{\vec {l}}.$ 

Первый интеграл можно переписать с использованием теоремы Стокса, а второе- с помощью векторного тождества $(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{A}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{B})\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{C}=-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{B}\cdot <!--\; \cdot \; -->(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{A}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{C})$$({\vec {A}}\times {\vec {B}})\cdot {\vec {C}}=-{\vec {B}}\cdot ({\vec {A}}\times {\vec {C}})$ 

В итоге получаем математическую запись:

$\frac{d{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_B}{dt}=0$${d\Phi _{B} \over dt}=0$ 

${\int <!--\; \int \; -->}_S\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{B}\times <!--\; \times \; -->d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{S}=const$$\int _{S}{\vec {B}}\times d{\vec {S}}=const$ 

Межзвёздная средаПравить

Проводимость реальных областей плазмы конечна. В условиях разряженной среды космической плазмы межзвездного вещества существенны большие размеры рассматриваемых контуров и, соответственно, большие времена затухания магнитного поля по сравнению с временем изучаемого процесса.