Ветвящийся процесс

Ветвя́щийся проце́сс — случайный процесс, описывающий широкий круг явлений, связанных с размножением и превращением каких-либо объектов^[1].

ИсторияПравить

Термин «ветвящиеся процессы» был предложен А. Н. Колмогоровым в начале 1947 года и в силу своей удачности пришёл в другие языки в виде кальки: англ. branching processes, нем. Verzweigungsprozesse, швед. förgreningsprocesser. По воспоминаниям Б. А. Севастьянова, после появления в США в том же году аналогичных исследований, связанных с разработкой атомного оружия, работы по теории ветвящихся процессов были засекречены на пять лет до хрущёвской оттепели в связи с опасениями, что теория может служить общей моделью неких ядерных цепных реакций, пока академик Я. Б. Зельдович не дал заключение, что работы могут быть опубликованы^[2].

МоделиПравить

Первыми рассмотренными моделями был Galton–Watson process — версия статьи «Ветвящийся процесс Гальтона — Ватсона» на английском языке ветвящийся процесс Гальтона — Ватсона (англ.) (рус. и марковский ветвящийся процесс. Обобщениями этих двух моделей являются^[3]:

Марковский ветвящийся процессПравить

Рассмотрим физическую систему, состоящую из конечного числа частиц одного или нескольких типов, в которой каждая частица может, независимо от других, превратиться в одну или несколько других частиц или исчезнуть. Состояние системы (популяция) в момент времени $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $t$ — вектор количеств частиц каждого типа, выраженных целыми числами. Эволюцию такой системы можно считать стохастической и марковской, а соответствующий процесс — марковским ветвящимся процессом^[4].

Марковскими ветвящимися процессами можно описывать различные явления природы: развитие биологических популяций, прохождение элементарных частиц через вещество, распространение эпидемий и т. п.^[4]

ПримечанияПравить

↑ Математический энциклопедический словарь, Ветвящийся процесс
↑ Колмогоров в воспоминаниях учеников / Ширяев А. Н.. — М.: МЦНМО, 2006. — 472 с. — ISBN 5940571980.
↑ Ватутин, Зубков, 1985.
↑ ¹ ² Гихман, Скороход, 1973.

ЛитератураПравить

Колмогоров А. Н., Дмитриев Н. А. Ветвящиеся случайные процессы // Доклады АН СССР : журнал. — М., 1947. — Т. 56, вып. 1. — С. 7-10.
Гихман И. И., Скороход А. В. Часть V. Ветвящиеся процессы // Теория случайных процессов. — М.: Наука, 1973. — Т. II.
Ватутин В. А., Зубков А. М. Ветвящиеся процессы. I // Итоги науки и техники. Серия «Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика». — М.: ВИНИТИ, 1985. — Т. 23. — С. 3–67.
Ватутин В. А., Дьяконова Е. Е., Топчий В. А. Критические процессы Гальтона–Ватсона со счетным множеством типов частиц и бесконечными вторыми моментами //Матем. сб., 212:1 (2021), 3–27
Боровков А. А. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1986.

[1] Математический энциклопедический словарь, Ветвящийся процесс

[2] Колмогоров в воспоминаниях учеников / Ширяев А. Н.. — М.: МЦНМО, 2006. — 472 с. — ISBN 5940571980.

[_39e06952ba4541ff-3] Ватутин, Зубков, 1985.

[_e761dcd63e94d779-4] ¹ ² Гихман, Скороход, 1973.

[1]

[2]

[3]

[4]