Вероятность безотказной работы

Вероятность безотказной работы — это вероятность того, что в пределах заданной наработки или заданном интервале времени отказ объекта не возникает. Вероятность безотказной работы вместе с интенсивностью отказов определяет безотказность объекта (при этом вероятность безотказной работы обратна вероятности отказа объекта).

Показатель вероятности безотказной работы определяется статистической оценкой: $P(t)=\frac{N_0-<!--\; -\; -->n(t)}{N_0}=1-<!--\; -\; -->\frac{n(t)}{N_0}$$P(t)={\frac {N_{0}-n(t)}{N_{0}}}=1-{\frac {n(t)}{N_{0}}}$ где $N_0$$N_{0}$ — исходное число работоспособных объектов,
$n(t)$$n(t)$ — число отказавших объектов за время $t$$t$.

---

Вероятность безотказной работы группы взаимосвязанных объектов равна произведению вероятностей безотказной работы каждого объекта в этой группе: $P(t)=P_1(t)\cdot <!--\; \cdot \; -->P_2(t)\cdot <!--\; \cdot \; -->...\cdot <!--\; \cdot \; -->P_n(t)=\underset{k=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{P}_k(t)$$P(t)=P_{1}(t)\cdot P_{2}(t)\cdot ...\cdot P_{n}(t)=\prod _{{k=1}}^{n}P_{k}(t)$ где n — число объектов в группе.

Чем больше объектов в группе, тем ниже надежность всей группы, так как если $P_1(t)=P_2(t)=...=P_n(t)$$P_{1}(t)=P_{2}(t)=...=P_{n}(t)$, то тогда $P(t)=[P_1(t){]}^n$$P(t)=[P_{1}(t)]^{n}$.

Среднее время безотказной работы системыПравить

Среднее время безотказной работы (средняя наработка на отказ) $T_0$$T_{0}$  — для невосстанавливаемых (неремонтируемых) систем — это математическое ожидание времени работы системы до отказа:

$T_0=M=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}t\cdot <!--\; \cdot \; -->f(t)dt=-<!--\; -\; -->\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}tdP(t)$$T_{0}=M=\int \limits _{0}^{\mathcal {\infty }}t\cdot f(t)dt=-\int \limits _{0}^{\mathcal {\infty }}tdP(t)$ 

Пределы несобственного интеграла изменяются от 0 до ∞, так как время не может быть отрицательным; $f(t)$$f(t)$  — есть плотность вероятности возникновения отказов системы или её невосстанавливаемого элемента. $P(T)$$P(T)$  — есть вероятность безотказной работы в интервале времени $0<t<T$ . В начальный момент вероятность Р(T) равна единице. В конце времени работы системы вероятность $P(T)$$P(T)$  равна нулю. Вероятность $P(T)$$P(T)$  связана с плотностью вероятности возникновения отказов системы или её невосстанавливаемого элемента следующим образом:

$f(t)=-<!--\; -\; -->\frac{dP(t)}{dt}$$f(t)=-{\frac {dP(t)}{dt}}$ .

Проинтегрировав выражение для $T_0$$T_{0}$  по частям, получим:

$T_0=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}P(t)dt$$T_{0}=\int \limits _{0}^{\mathcal {\infty }}P(t)dt$ 

Графически полученное выражение для $T_0$$T_{0}$  представлено на рисунке как площадь под графиком вероятности безотказной работы Р(T) от времени T. В начальный момент вероятность Р(T) равна единице. В конце времени работы системы вероятность P(T) равна нулю.

 

Здесь $T\ge <!--\; \ge \; -->0$$T\geq 0$  — случайное время работы системы до отказа или наработка на отказ для невосстанавливаемого элемента или системы.

Типичные распределения времени безотказной работыПравить

Основной источник:

• Экспоненциальное распределение: $f(t)=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}t}$$f(t)=\lambda e^{-\lambda t}$ , $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}>0$$\lambda >0$ , $t⩾<!--\; ⩾\; -->0$$t\geqslant 0$ .
• Гамма-распределение: $f(t)=\frac{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}t{)}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1}{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}t}}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}$$f(t)={\frac {\lambda (\lambda t)^{\alpha -1}e^{-\lambda t}}{\Gamma (\alpha )}}$ , $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}>0$$\lambda ,\alpha >0$ , $t⩾<!--\; ⩾\; -->0$$t\geqslant 0$ .
• Распределение Вейбулла: $f(t)=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{t}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1}{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{t}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}$$f(t)=\lambda \alpha t^{\alpha -1}e^{-\lambda t^{\alpha }}$ , $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}>0$$\lambda ,\alpha >0$ , $t⩾<!--\; ⩾\; -->0$$t\geqslant 0$ .
• Модифицированное распределение экстремального значения: $f(t)=\frac{1}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\exp <!--\; \; -->\left[-<!--\; -\; -->\frac{e^t-<!--\; -\; -->1}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}+t\right]$$f(t)={\frac {1}{\lambda }}\exp {\left[-{\frac {e^{t}-1}{\lambda }}+t\right]}$ , $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}>0$$\lambda >0$ , $t⩾<!--\; ⩾\; -->0$$t\geqslant 0$ .
• Усечённое нормальное распределение: $f(t)=\frac{1}{a\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}\exp <!--\; \; -->\left[-<!--\; -\; -->\frac{(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}{)}^2}{2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}\right]$$f(t)={\frac {1}{a\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp {\left[-{\frac {(t-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$ , $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}>0$$\sigma >0$ , $-\infty <\mu <\infty$ , $0<t<\infty$ .
• Логарифмически-нормальное распределение: $f(t)=\frac{1}{t\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}\exp <!--\; \; -->\left[-<!--\; -\; -->\frac{(\lg <!--\; \; -->t-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}{)}^2}{2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}\right]$$f(t)={\frac {1}{t\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp {\left[-{\frac {(\lg {t}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$ , $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}>0$$\sigma >0$ , $-\infty <\mu <\infty$ , $t⩾<!--\; ⩾\; -->0$$t\geqslant 0$ .

ЛитератураПравить

• Леликов О. П. Тема 2. Основные понятия и показатели надежности // Основы расчета и проектирования деталей и узлов машин. Конспект лекций по курсу "Детали машин". — М.: Машиностроение, 2002. — С. 8-9. — 440 с. — 2000 экз. — ISBN 5-217-03077-1.

См. такжеПравить

• Расчёт надёжности
• ГОСТ 27.002—89 (В викитеке)
• Вероятность безотказной работы по ГОСТ 27.002-89