Верзьера Аньези

Верзье́ра (верзие́ра) Анье́зи (иногда ло́кон Анье́зи) — плоская кривая, геометрическое место точек $M$$M$, для которых выполняется соотношение $\frac{BM}{BC}=\frac{OA}{OB}$$\textstyle {\frac {BM}{BC}}={\frac {OA}{OB}}$, где $OA$$OA$ — диаметр окружности, $BC$$BC$ — полухорда этой окружности, перпендикулярная $OA$$OA$. Своё название верзьера Аньези получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези, исследовавшей эту кривую.

Верзьера Аньези

ИсторияПравить

Пьер Ферма в 1630 году нашёл площадь области между кривой и её асимптотой. В 1703 году Гвидо Гранди, независимо от Ферма, описал построение этой кривой, а в работе 1718 года назвал её верзьерой (итал. Versiera, от лат. Versoria), так как в его конструкции использовалась функция синус-верзус.

В 1748 году Мария Аньези опубликовала известный обобщающий труд Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana, в котором кривая, как и в работе Гранди, именовалась верзьерой. По совпадению, итальянское слово Versiera/Aversiera, производное от латинского Adversarius, имело также значение «ведьма» (англ. witch). Возможно, по этой причине кембриджский профессор Джон Колсон, переводивший труд Аньези на английский, неправильно перевёл это слово, в результате чего в литературе на английском языке кривая часто именуется the witch of Agnesi.

УравненияПравить

$O=(0,0)$$O=(0,0)$ , $A=(0,a)$$A=(0,a)$ 

• В прямоугольной системе координат:

$y=\frac{a^3}{a^2+x^2}$$y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}$ 

Вывод

Координаты точки $M$$M$ , лежащей на верзьере — это $x=BM$$x=BM$ , $y=OB$$y=OB$ . $OA=a$$OA=a$  и по определению строим пропорцию

$\frac{x}{BC}=\frac{a}{y}$$\textstyle {\frac {x}{BC}}={\frac {a}{y}}$ 

Отсюда

$BC=\frac{xy}{a}$$\textstyle BC={\frac {xy}{a}}$ 

С другой стороны $BC$$BC$  может быть найден из уравнения окружности:

${\left(y-<!--\; -\; -->\frac{a}{2}\right)}^2+x^2=\frac{a^2}{4}$$\textstyle \left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}+x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}$ 

Нам известен $y=OB$$y=OB$ , значит выражаем $x^2$$x^{2}$ :

$x^2=\frac{a^2}{4}-<!--\; -\; -->{\left(y-<!--\; -\; -->\frac{a}{2}\right)}^2$$\textstyle x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}$ 

Приравниваем оба выражения для $BC$$BC$ :

$\frac{x^2{y}^2}{a^2}=\frac{a^2}{4}-<!--\; -\; -->{\left(y-<!--\; -\; -->\frac{a}{2}\right)}^2$$\textstyle {\frac {x^{2}y^{2}}{a^{2}}}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}$ 

Возводим в квадрат, переносим и выносим $y^2$$y^{2}$  за скобки:

$\left(\frac{x^2}{a^2}+1\right)y^2=ay$$\textstyle \left({\frac {x^{2}}{a^{2}}}+1\right)y^{2}=ay$ 

Выражаем y (y=0 не подходит по определению):

$y=\frac{a^3}{a^2+x^2}$$\textstyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}$ 

Если $a$$a$  — это не диаметр, а радиус окружности, то уравнение такое:

$y=\frac{8a^3}{4a^2+x^2}$$\textstyle y={\frac {8a^{3}}{4a^{2}+x^{2}}}$ 

• Параметрическое уравнение:

$\{\begin{array}{l}x=a\mathrm{tg}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\\ y=a{\cos }^2<!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\end{array}$${\begin{cases}x=a\,\operatorname {tg}\,\varphi \\y=a\cos ^{2}\varphi \end{cases}}$ , где $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  — угол между $OA$$OA$  и $OC$$OC$ 

Вывод

Координаты точки $M$$M$  однозначно определяются углом $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  между $OB$$OB$  и $OC$$OC$ . Если $OB=y$$OB=y$ , а $BM=x$$BM=x$ , то по определению верзьеры можно составить пропорцию

$\frac{OA}{y}=\frac{x}{BC}$$\textstyle {\frac {OA}{y}}={\frac {x}{BC}}$ 

$OA$$OA$  по предположению равен $a$$a$ . Из треугольника $OBC$$OBC$ : $BC=y\mathrm{tg}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$BC=y\,\operatorname {tg}\,\varphi$ , значит

$\frac{a}{y}=\frac{x}{y\mathrm{tg}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$$\textstyle {\frac {a}{y}}={\frac {x}{y\,\operatorname {tg}\,\varphi }}$ 

отсюда $x=a\mathrm{tg}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$x=a\,\operatorname {tg}\,\varphi$ . Эту формулу подставляем в уравнение кривой:

$y=\frac{a^3}{a^2+a^2{\mathrm{tg}}^2\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$$\textstyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+a^{2}\,\operatorname {tg}^{2}\,\varphi }}$ 

$y=\frac{a}{1+{\mathrm{tg}}^2\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$$\textstyle y={\frac {a}{1+\,\operatorname {tg}^{2}\,\varphi }}$ 

Используя тождество, получаем

$y=a{\cos }^2<!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$y=a\cos ^{2}\varphi$ 

• В полярной системе уравнение верзьеры достаточно сложное: чтобы найти его необходимо решить кубическое уравнение:

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\frac{a^3}{a^2+{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^2{\cos }^2<!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$$\textstyle \rho \sin {\varphi }={\frac {a^{3}}{a^{2}+\rho ^{2}\cos ^{{2}}\varphi }}$ 

${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^3({\cos }^2<!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})+\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(a^2\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})-<!--\; -\; -->a^3=0$$\textstyle \rho ^{3}(\cos ^{2}\varphi \sin \varphi )+\rho (a^{2}\sin \varphi )-a^{3}=0$ 

Однако полученная формула будет слишком сложной и громоздкой, чтобы иметь какое-либо практическое значение.

СвойстваПравить

• Верзьера — кривая третьего порядка.
• Диаметр $OA$$OA$  единственная ось симметрии кривой.
• Кривая имеет один максимум — $A(0;a)$$A(0;a)$  и две точки перегиба — $P_{1,2}\left(\pm <!--\; \pm \; -->\frac{a}{\sqrt{3}};\frac{3a}{4}\right)$$\textstyle P_{{1,2}}\left(\pm {\frac {a}{{\sqrt {3}}}};{\frac {3a}{4}}\right)$ 
• В окрестности вершины $A$$A$  верзьера приближается к окружности диаметра $OA$$OA$ . В точке $A$$A$  происходит касание, и кривая совпадает с окружностью. Это показывает величина радиуса кривизны в точке $A$$A$ : $R_A=\frac{a}{2}$$\textstyle R_{A}={\frac {a}{2}}$ .
• Площадь под графиком $S=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{a}^2$$S=\pi a^{2}$ . Она вычисляется интегрированием уравнения по всему $\mathbb{R}$$\textstyle {\mathbb {R}}$ .
• Объём тела вращения верзьеры вокруг своей асимптоты (оси $OX$$OX$ ) $V=\frac{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2{a}^3}{2}$$\textstyle V={\frac {\pi ^{2}a^{3}}{2}}$ .

ПостроениеПравить

 

Построение верзьеры

Строится окружность диаметра $a$$a$  и касательная к ней. На касательной выбирается система отсчёта с началом в точке касания. Строится прямая через выбранную точку касательной и точку окружности, противоположную точке касания. Эта прямая пересекает окружность в некоторой точке. Через эту точку строится прямая, параллельная касательной. Точка верзьеры лежит на пересечении этой прямой и перпендикуляра к касательной в выбранной точке.

Интересные фактыПравить

• Трамплин-рампа российского авианосца Адмирал флота Советского Союза Кузнецов образован верзьерой Аньези. Когда самолет сходит с рампы, он находится в идеальном угле атаки при скорости 180—200 км/ч (для Су-27). Теоретически, с рампы-трамплина может взлететь самолет любой взлетной массы.

См. такжеПравить

• Кривая
• Распределение Коши

ЛитератураПравить

• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — М.: АСТ:Астрель, 2006.

СсылкиПравить

• И. М. Виноградов. Аньези локон // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.
• Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов  (неопр.). Дата обращения: 13 января 2012.
• Анимация построения (англ.). Дата обращения: 13 января 2012. Архивировано 14 марта 2012 года.
• Статья в Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (фр.). Дата обращения: 15 июня 2010. Архивировано 14 марта 2012 года.
• Статья на сайте Wolfram MathWorld (англ.). Дата обращения: 15 июня 2010.
• XahLee.org (англ.). Дата обращения: 13 января 2012.
• Leslie Pacher. The mathematical “Witch” (англ.) (недоступная ссылка — история). Дата обращения: 13 января 2012. Архивировано 14 марта 2012 года.