Вариация множества

Вариация множества — число, характеризующее $k$$k$-мерную протяженность множества в $n$$n$-мерном евклидовом пространстве.

Нулевая вариация множества $V_0(E)$$V_{0}(E)$ замкнутого ограниченного множества $E$$E$ — это число компонент этого множества. Для простейшего случая плоскости вариация первого порядка $V_1(E)$$V_{1}(E)$ называется линейной вариацией множества и представляет собой интеграл:

$V_1(E)=c\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},E)d\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$V_{1}(E)=c\int \limits _{0}^{2\pi }\Phi (\alpha ,\;E)\,d\alpha$

от функции

$\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},E)=\underset{{\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\int <!--\; \int \; -->}{V}_0(E\cap <!--\; \cap \; -->{\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},z}^{\perp <!--\; \perp \; -->})dz,$$\Phi (\alpha ,\;E)=\int \limits _{\Pi _{\alpha }}V_{0}(E\cap \Pi _{\alpha ,\;z}^{\perp })\,dz,$

где интегрирование ведётся по прямой ${\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\Pi _{\alpha }$, проходящей через начало координат;

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ — угол наклона ${\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\Pi _{\alpha }$ к фиксированной оси; ${\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},z}^{\perp <!--\; \perp \; -->}$$\Pi _{\alpha ,\;z}^{\perp }$ — прямая, перпендикулярная к ${\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$\Pi _{\alpha }$ и пересекающая её в точке $z$$z$.

Нормирующая константа $c$$c$ выбирается так, чтобы вариация $V_1(E)$$V_{1}(E)$ отрезка $E$$E$ совпадала с его длиной. Для достаточно простых множеств, например, для спрямляемых кривых, вариация множества равна длине кривой. Для замкнутой области $E$$E$ со спрямляемой границей $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$ линейная вариация множества $V_1(E)$$V_{1}(E)$ равна половине длины $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$.

Вторая вариация множества (то есть порядка 2) есть двумерная мера множества $E$$E$. При $k>2$$k>2$ $V_k(E)=0$$V_{k}(E)=0$.

Для $n$$n$-мерного евклидова пространства вариацией $V_i(E)$$V_{i}(E)$ порядка $i=0,1,\dots <!--\; \dots \; -->,n$$i=0,\;1,\;\ldots ,\;n$ ограниченного замкнутого множества $E$$E$ называется интеграл $V_k(E)=\underset{{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_k^n}{\int <!--\; \int \; -->}{V}_0(E\cap <!--\; \cap \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})d{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$V_{k}(E)=\int \limits _{\Omega _{k}^{n}}V_{0}(E\cap \beta )\,d\mu _{\beta }$ от нулевой вариации пересечения $E$$E$ с $(n-<!--\; -\; -->k)$$(n-k)$-мерной плоскостью $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$ по пространству ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_k^n$$\Omega _{k}^{n}$ всех $(n-<!--\; -\; -->k)$$(n-k)$-мерных плоскостей из $R_n$$R_n$, с мерой Хаара $d{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$d\mu _{\beta }$, нормированной так, чтобы единичный $k$$k$-мерный куб $J_k$$J_{k}$ имел вариацию множества $V_k(J_k)=1$$V_{k}(J_{k})=1$.

Вариация множества $V_n(E)$$V_{n}(E)$ совпадает с $n$$n$-мерной мерой Лебега множества $E$$E$. Для выпуклых тел вариация множества при надлежащей нормировке совпадает со смешанными объемами Минковского.

Свойства вариации множестваПравить

• Для $E\subset <!--\; \subset \; -->R_n\subset <!--\; \subset \; -->R_{n^{\prime }}$$E\subset R_{n}\subset R_{n'}$  вариация множества $V_k(E)$$V_{k}(E)$  не зависит от того, вычисляется она для $E\subset <!--\; \subset \; -->R_n$$E\subset R_{n}$  или для $E\subset <!--\; \subset \; -->R_{n^{\prime }}$$E\subset R_{n'}$ .
• Для вариаций множеств справедлива следующая формула:

$\underset{{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_k^n}{\int <!--\; \int \; -->}{V}_i(E\cap <!--\; \cap \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})d{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}=c(n,k,i)V_{k+i}(E),k+i⩽<!--\; ⩽\; -->n,$$\int \limits _{\Omega _{k}^{n}}V_{i}(E\cap \beta )\,d\mu _{\beta }=c(n,\;k,\;i)V_{k+i}(E),\quad k+i\leqslant n,$ 

где $c(n,k,i)$$c(n,\;k,\;i)$  — нормирующая константа.

• Из $V_i(E)=0$$V_{i}(E)=0$  следует, что $V_{i+1}(E)=0$$V_{i+1}(E)=0$ .
• Для любой последовательности чисел $a_0,a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n$$a_{0},\;a_{1},\;\ldots ,\;a_{n}$ , где $a_0>0$$a_{0}>0$  — целое, $0<a_{i}\leqslant \infty$ , $i=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n-<!--\; -\; -->1$$i=1,\;2,\;\ldots ,\;n-1$ ; $a_n=0$$a_{n}=0$ , можно построить множество $E\subset <!--\; \subset \; -->R_n$$E\subset R_{n}$ , для которого $V_i(E)=a_i$$V_{i}(E)=a_{i}$ , $i=0,l,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n$$i=0,\;l,\;2,\ldots ,\;n$ . В этом выражается в некотором смысле независимость вариаций множества друг от друга.
• $V_i(E_1\cup <!--\; \cup \; -->E_2)=V_2(E_i)+V_i(E_2)$$V_{i}(E_{1}\cup E_{2})=V_{2}(E_{i})+V_{i}(E_{2})$ , если $E_1$$E_1$  и $E_2$$E_2$  не пересекаются. В общем случае

$V_i(E_1\cup <!--\; \cup \; -->E_2)⩽<!--\; ⩽\; -->V_2(E_i)+V_i(E_2).$$V_{i}(E_{1}\cup E_{2})\leqslant V_{2}(E_{i})+V_{i}(E_{2}).$ 

Для $i=0,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n-<!--\; -\; -->1$$i=0,\;2,\;\ldots ,\;n-1$  вариации множества $V_i$$V_i$  не монотонны, то есть может оказаться, что $V_{i}(E_{1})<V_{i}(E_{2})$  для $E_1\supset <!--\; \supset \; -->E_2$$E_{1}\supset E_{2}$ .

• Вариации множеств полунепрерывны, то есть если последовательность замкнутых ограниченных множеств $E_k$$E_k$  сходится (в смысле метрики уклонений) к множеству $E$$E$ , то

$V_0(E)⩽<!--\; ⩽\; -->\underset{k\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->V_0(E_n).$$V_{0}(E)\leqslant \varliminf _{k\to \infty }V_{0}(E_{n}).$ 

Если $V_0(E_k)+\dots <!--\; \dots \; -->+V_{i-<!--\; -\; -->1}(E_k)$$V_{0}(E_{k})+\ldots +V_{i-1}(E_{k})$  равномерно ограничены суммы, то

$V_i(E)⩽<!--\; ⩽\; -->\underset{k\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->V_i(E_n),i=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n.$$V_{i}(E)\leqslant \varliminf _{k\to \infty }V_{i}(E_{n}),\quad i=1,\;2,\;\ldots ,\;n.$ 

• Вариация множества $V_k(E)$$V_{k}(E)$  совпадает с $k$$k$ -мерной мерой Хаусдорфа множества $E$$E$ , если $V_{k+1}(E)=0$$V_{k+1}(E)=0$ , а

$V_{0}(E)+V_{1}(E)+\ldots +V_{k}(E)<\infty .$ 

Эти условия выполняются, например, для дважды гладких многообразий.

ИсторияПравить

Понятие «вариация множества» возникло в связи с исследованием решений системы Коши — Римана и в окончательной формулировке принадлежит А. Г. Витушкину. Вариация множества является полезным аппаратом при решении некоторых задач анализа, в частности при изучении суперпозиций функций многих переменных, а также в вопросах аппроксимации.

ЛитератураПравить

• Витушиин А. Г. Доклады АН СССР. — 1966. — т. 166. — № 5. — с. 1022—1025.
• Иванов Л. Д. Математический сборник. — 1967. — т. 72(114). — № 3. — с. 445—470.
• Иванов Л. Д. Математический сборник. — 1969. — т. 78(120). — № 1. — с. 85—100.
• Иванов Л.Д. Вариации множеств и функций. — М.: Наука, 1975. — 352 с.