Условие Брэгга — Вульфа

Условие Брэгга — Вульфа определяет направление максимумов дифракции упруго рассеянного на кристалле рентгеновского излучения. Выведено в 1913 независимо У. Л. Брэггом и Г. В. Вульфом. Имеет вид:

$2d\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=n\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\quad 2d\sin \theta =n\lambda$

где d — межплоскостное расстояние, θ — угол скольжения (брэгговский угол), n — порядок дифракционного максимума, λ — длина волны.

Брэгговская дифракция может наблюдаться не только для электромагнитных волн, но и для волн материи (волновых функций). В частности, экспериментально это было впервые продемонстрировано для нейтронов в 1936 году, а позднее также для отдельных атомов, конденсата Бозе — Эйнштейна, электронов, двухатомных и многоатомных молекул.

ВыводПравить

 

Брэгговская дифракция

Пусть плоская монохроматическая волна любого типа падает на решётку с периодом d, под углом θ, как показано на рисунке. Как видно, есть разница в путях между лучом, отражённым вдоль AC' и лучом, прошедшим ко второй плоскости атомов по пути AB и только после этого отражённым вдоль BC. Разница в путях запишется как

$(AB+BC)-<!--\; -\; -->(A{C}^{\prime }).$$(AB+BC)-(AC').$ 

Если эта разница равна целому числу волн n, то две волны придут в точку наблюдения с одинаковыми фазами, испытав интерференцию. Математически можно записать:

$(AB+BC)-<!--\; -\; -->(A{C}^{\prime })=n\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$(AB+BC)-(AC')=n\lambda$ 

где λ — длина волны излучения. Используя теорему Пифагора можно показать, что

$AB=\frac{d}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$$AB={\frac {d}{\sin \theta }}$ , $BC=\frac{d}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}},$$BC={\frac {d}{\sin \theta }},$ , $AC=\frac{2d}{\tan <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$$AC={\frac {2d}{\tan \theta }}$ 

как и следующие соотношения:

$A{C}^{\prime }=AC\cdot <!--\; \cdot \; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\frac{2d}{\tan <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$AC'=AC\cdot \cos \theta ={\frac {2d}{\tan \theta }}\cos \theta$ 

Собрав всё вместе получим известное выражение:

$n\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=\frac{2d}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}-<!--\; -\; -->\frac{2d}{\tan <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\frac{2d}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}(1-<!--\; -\; -->{\cos }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})=\frac{2d}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$n\lambda ={\frac {2d}{\sin \theta }}-{\frac {2d}{\tan \theta }}\cos \theta ={\frac {2d}{\sin \theta }}(1-\cos ^{2}\theta )={\frac {2d}{\sin \theta }}\sin ^{2}\theta$ 

После упрощения получим закон Брэгга

$n\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=2d\cdot <!--\; \cdot \; -->\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(1).$$n\lambda =2d\cdot \sin \theta ~~~~(1).$ 

ПрименениеПравить

Условие Брэгга — Вульфа позволяет определить межплоскостные расстояния d в кристалле, так как λ обычно известна, а углы θ измеряются экспериментально. Условие (1) получено без учёта эффекта преломления для безграничного кристалла, имеющего идеально-периодическое строение. В действительности дифрагированное излучение распространяется в конечном угловом интервале θ±Δθ, причём ширина этого интервала определяется в кинематическом приближении числом отражающих атомных плоскостей (то есть пропорциональна линейным размерам кристалла), аналогично числу штрихов дифракционной решётки. При динамической дифракции величина Δθ зависит также от величины взаимодействия рентгеновского излучения с атомами кристалла. Искажения решётки кристалла в зависимости от их характера ведут к изменению угла θ, или возрастанию Δθ, или к тому и другому одновременно.

Условие Брэгга — Вульфа является исходным пунктом исследований в рентгеновском структурном анализе, рентгенографии материалов, рентгеновской топографии.

Условие Брэгга — Вульфа остаётся справедливым при дифракции γ-излучения, электронов и нейтронов в кристаллах, при дифракции в слоистых и периодических структурах излучения радио- и оптического диапазонов, а также звука.

В нелинейной оптике и квантовой электронике при описании параметрических и неупругих процессов применяются различные условия пространственного синхронизма волн, близкие по смыслу условию Брэгга — Вульфа.

См. такжеПравить

• Дифракция

ЛитератураПравить

• Bragg W. L., «The Diffraction of Short Electromagnetic Waves by a Crystal», Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 17, 43 (1914).
• Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов и др. — М.: Сов. энциклопедия. Т. 1: Аронова — Бома эффект — Длинные линии. — М.: БСЭ, 1988. — 704 с., ил.