Бимомент

Бимомент (деформирующий момент) — физическая величина, изгибно-крутящий момент, образуется при нагрузке профиля, расположенного под углом или при неравномерной нагрузке на профиль.

Бимомент
Mω
Единицы измерения
СИ	кг·м²
СГС	г·см²

Данный термин используется при анализе балок (механика сплошных сред), относится к кручению и деформации и обозначается — Mω. Бимомент показывает распределения в поперечном сечении (продольного) деформационного напряжения для случаев деформационного скручивания и искажения деформации соответственно. Как правило, бимомент может быть представлен парой равных и противоположных изгибающих моментов.

Отношение к напряжённостиПравить

Полученный бимомент на участке можно рассчитать как интеграл произведения унитарной деформации и напряжения, перпендикулярный к сечению:

$B_{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}(x)={\int <!--\; \int \; -->}_A\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(y,z){\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_x(x,y,z)dydz$$B_{\omega }(x)=\int _{A}\omega (y,z)\sigma _{x}(x,y,z)\ dydz$ 

Связь с перемещениямиПравить

Бимомент можно рассматривать как обобщённое усреднённое усилие деформации φ (деформационная функция). Чтобы доказать это, достаточно рассмотреть выражение энергии деформации для механической призмы^[es], подвергнутой изгибному кручению:

$e_{def}=e_{flex}+e_{tor}+e_{fl-<!--\; -\; -->tr}$$e_{def}=e_{flex}+e_{tor}+e_{fl-tr}\;$ 

Где каждое из приведённых условий выражается в терминах обобщенных смещений барицентрической оси и производных от этих перемещений. Непосредственная проверка:

$B_{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{e}_{def}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}(d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}/dx)}=0+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{e}_{tor}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}(d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}/dx)}+0=E{I}_{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}\frac{d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{dx}$$B_{\omega }={\frac {\partial e_{def}}{\partial (d\varphi /dx)}}=0+{\frac {\partial e_{tor}}{\partial (d\varphi /dx)}}+0=EI_{\omega }{\frac {d\varphi }{dx}}$ 

Там, где использовано только условие энергии, крутящий момент определяется следующим образом:

$e_{tor}=\frac{1}{2}\left[GJ{\left(\frac{d{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_x}{dx}\right)}^2+\frac{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}{1-<!--\; -\; -->\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}GJ{\left(\frac{d{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_x}{dx}-<!--\; -\; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\right)}^2+E{I}_{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{\left(\frac{d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{dx}\right)}^2\right]$$e_{tor}={\frac {1}{2}}\left[GJ\left({\frac {d\theta _{x}}{dx}}\right)^{2}+{\frac {\kappa }{1-\kappa }}GJ\left({\frac {d\theta _{x}}{dx}}-\varphi \right)^{2}+EI_{\omega }\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}\right]$ 

Расчёт бимоментаПравить

Бимомент можно рассчитать по напряжениям на единицу длины из системы дифференциальных уравнений:

$\{\begin{array}{l}\frac{d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{dx}=\frac{B_{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}}{E{I}_{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}}\\ \frac{d{B}_{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}}{dx}={\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}_{0}GJ\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x;Q_y,Q_z,M_x)\end{array}$${\begin{cases}{\cfrac {d\varphi }{dx}}={\cfrac {B_{\omega }}{EI_{\omega }}}\\{\cfrac {dB_{\omega }}{dx}}=\kappa _{0}GJ\varphi -\phi (x;Q_{y},Q_{z},M_{x})\end{cases}}$ 

где:

$J,I_{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$$J,I_{\omega }\;$  — модуль кручения и модуль деформации соответственно;

${\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}_0:=1-<!--\; -\; -->J/(I_y+I_z)$$\kappa _{0}:=1-J/(I_{y}+I_{z})\;$  — рассчитывается по модулю кручения и полярному моменту инерции или сумме основных моментов инерции.

Получив второе из этих уравнений и подставив в него первое соотношение, получим уравнение второго порядка для бимомента:

$\frac{d^2{B}_{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}}{d{x}^2}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}_0\frac{GJ}{E{I}_{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}}{B}_{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}=-<!--\; -\; -->\frac{d\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{dx}$${\frac {d^{2}B_{\omega }}{dx^{2}}}-\kappa _{0}{\frac {GJ}{EI_{\omega }}}B_{\omega }=-{\frac {d\phi }{dx}}$ 

См. такжеПравить

• Момент инерции
• Момент импульса
• Момент силы

ЛитератураПравить

• Бычков Д. В. Строительная механика стержневых тонкостенных конструкций / Д. В. Бычков. — VI-6513. — М.: Госстройиздат, 1952. — 475 с. — 5500 экз.
• СП 16.13330.2017 (Актуализированной редакции СНиП II-23-81*) «Стальные конструкции. Актуализированная редакция СНиП II-23-81*».

СсылкиПравить

• Расчёт прогонов с учётом бимомента
• Общий случай нагружения тонкостенного стержня
• А. Р. Туснин, М. Прокич «Прочность двутавровых профилей при стесненном кручении с учетом развития пластических деформаций». Научно-технический журнал по строительству и архитектуре «Вестник МГСУ». 2014. № 1. Стр. 75—82. ISSN 2304-6600 (Online), ISSN 1997-0935.
• Устойчивость структур: упругие, неупругие, разрушающие и разрушающие теории  (англ.)