Характер биквадратичного вычета

Характер биквадратичного вычета — теоретико-числовая функция двух аргументов, являющаяся частным случаем символа степенного вычета. Также является характером в простом поле.

Характер биквадратичного вычета является аналогом символа Лежандра, и для его вычисления используется биквадратичный закон взаимности, являющийся аналогом квадратичного закона взаимности.

ОпределениеПравить

Рассмотрим D=Z[i] — кольцо целых гауссовых чисел, то есть чисел вида $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=a+bi$$\alpha =a+b\,i$ , где a и b — целые числа.

Пусть $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  — простое в кольце D, с нормой $N\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$N\pi$ . Характер биквадратичного вычета определяется следующим образом:

• ${\left(\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\right)}_4=0$$\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}=0$ , если $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  делится на $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ .
• ${\left(\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\right)}_4=1$$\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}=1$ , если $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  не делится на $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  и $N\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}=2$$N\pi =2$ .
• Во всех остальных случаях ${\left(\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\right)}_4$$\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}$  — одно из значений $\{1,-<!--\; -\; -->1,i,-<!--\; -\; -->i\}$$\{1,\ -1,\ i,\ -i\}$ , лежащее в классе вычетов ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{(N\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}-<!--\; -\; -->1)/4}\mathrm{mod}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\alpha ^{(N\pi -1)/4}\mod \pi$  (такое значение однозначно определено).

Биквадратичный закон взаимностиПравить

Назовём $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , не являющееся единицей, примарным, если оно сравнимо с 1 по модулю идеала $((1+i{)}^3)$$((1+i)^{3})$ . При этом неединица $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=a+bi$$\alpha =a+b\,i$  примарна тогда и только тогда, когда $a\equiv <!--\; \equiv \; -->1(\mathrm{mod}4)$$a\equiv 1{\pmod {4}}$ , $b\equiv <!--\; \equiv \; -->0(\mathrm{mod}4)$$b\equiv 0{\pmod {4}}$  или $a\equiv <!--\; \equiv \; -->3(\mathrm{mod}4)$$a\equiv 3{\pmod {4}}$ , $b\equiv <!--\; \equiv \; -->2(\mathrm{mod}4)$$b\equiv 2{\pmod {4}}$ .

Пусть $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  и $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$  — взаимно простые примарные элементы в D, тогда

${\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\right)}_4={\left(\frac{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\right)}_4(-<!--\; -\; -->1{)}^{\frac{N\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}-<!--\; -\; -->1}{4}\frac{N\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->1}{4}}$$\left({\frac {\pi }{\theta }}\right)_{4}=\left({\frac {\theta }{\pi }}\right)_{4}(-1)^{{\frac {N\pi -1}{4}}{\frac {N\theta -1}{4}}}$

Другие свойства характера биквадратичного вычетаПравить

• ${\left(\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\right)}_4=1$$\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}=1$  тогда и только тогда, когда сравнение $x^4\equiv <!--\; \equiv \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{mod}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$x^{4}\equiv \alpha \mod {\pi }$  разрешимо, то есть тогда и только тогда, когда $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  — биквадратичный вычет
• Мультипликативность: ${\left(\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\right)}_4={\left(\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\right)}_4\cdot <!--\; \cdot \; -->{\left(\frac{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\right)}_4$$\left({\frac {\alpha \beta }{\pi }}\right)_{4}=\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}\cdot \left({\frac {\beta }{\pi }}\right)_{4}$ 
• Периодичность: если $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\equiv <!--\; \equiv \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{mod}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\alpha \equiv \beta \mod {\pi }$ , то ${\left(\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\right)}_4={\left(\frac{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\right)}_4$$\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}=\left({\frac {\beta }{\pi }}\right)_{4}$ 
• Если $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}=a+bi$$\pi =a+bi$  — простое примарное, то ${\left(\frac{-<!--\; -\; -->1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\right)}_4=(-<!--\; -\; -->1{)}^{\frac{a-<!--\; -\; -->1}{2}}$$\left({\frac {-1}{\pi }}\right)_{4}=(-1)^{\frac {a-1}{2}}$ 

Список литературыПравить

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва: Мир, 1987.

• Franz Lemmermeyer. Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein. — Springer Verlag, 2000. — ISBN 3-540-66957-4.