Бесконечномерное пространство

Бесконечномерное пространство — векторное пространство c бесконечно большой размерностью. Изучение бесконечномерных пространств и их отображений является главной задачей функционального анализа. Наиболее простыми бесконечномерными пространствами являются гильбертовы пространства, наиболее близкие по свойствам к конечномерным евклидовым пространствам.

ОпределениеПравить

Линейное векторное пространство называется бесконечномерным, если для любого целого числа $N>0$$N>0$  в нем найдется линейно независимая система, состоящая из $N$$N$  векторов.

БазисПравить

Для бесконечномерного пространства существуют различные определения базиса. Так, например, базис Гамеля определяется, как множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации единственным образом.

Для топологических векторных пространств можно определить базис Шаудера. Система элементов $\left\{e_k\right\}$$\left\{e_{k}\right\}$  образует базис Шаудера пространства $E$$E$ , если каждый элемент $x\in <!--\; \in \; -->E$$x\in E$  представим единственным образом в виде сходящегося ряда $x=\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_k{e}_k$$x=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e_{k}$ . Базис Шаудера существует не всегда.

ПримерыПравить

• Линейное пространство непрерывных на данном промежутке функций.
• Гильбертово пространство, образованное бесконечной последовательностью чисел $x=({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1,...,{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_k,...)$$x=(\xi _{1},...,\xi _{k},...)$  со сходящейся суммой квадратов $\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}^{2}<\infty$ .
• Множество всех многочленов.
• Фазовое пространство в статистической физике является почти бесконечномерным.
• Пространство квадратично-суммируемых последовательностей

СвойстваПравить

• Бесконечномерное пространство не изоморфно никакому конечномерному.

См. такжеПравить

• Конечномерное пространство

ЛитератураПравить

• Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. — М.: Физматлит, 2004. — 464 с. — ISBN 5-9221-0386-5.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.
• под ред. Крейн С.Г. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1964. — 424 с. — 17 500 экз.