Березиниан

В математике и теоретической физике, березиниан или супердетерминант является обобщением определителя на случай суперматриц. Назван в честь Феликса Березина. Березиниан играет роль, аналогичную определителю, когда рассматриваются изменения координат для интеграции на супермногообразии.

ОпределениеПравить

Березиниан однозначно определяется двумя определяющими свойствами:

• $\mathrm{Ber}<!--\; \; -->(XY)=\mathrm{Ber}<!--\; \; -->(X)\mathrm{Ber}<!--\; \; -->(Y)$$\operatorname {Ber} (XY)=\operatorname {Ber} (X)\operatorname {Ber} (Y)$ 
• $\mathrm{Ber}<!--\; \; -->(e^X)=e^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathrm{X})}$$\operatorname {Ber} (e^{X})=e^{\operatorname {str(X)} }$ 

где str(X) обозначает суперслед от X. В отличие от классического определителя, березиниан определён только для обратимых суперматриц.

СвойстваПравить

• Березиниан из X всегда является единицей кольца R₀.
• $\mathrm{Ber}<!--\; \; -->(X{)}^{-<!--\; -\; -->1}=\mathrm{Ber}<!--\; \; -->(X^{-<!--\; -\; -->1})$$\operatorname {Ber} (X)^{-1}=\operatorname {Ber} (X^{-1})$ 
• $\mathrm{Ber}<!--\; \; -->(X^T)=\mathrm{Ber}<!--\; \; -->(X)$$\operatorname {Ber} (X^{T})=\operatorname {Ber} (X)$  где $X^T$$X^{T}$  обозначает супертранспозицию X.
• $\mathrm{Ber}<!--\; \; -->(X\oplus <!--\; \oplus \; -->Y)=\mathrm{Ber}<!--\; \; -->(X)\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{r}(Y)$$\operatorname {Ber} (X\oplus Y)=\operatorname {Ber} (X)\mathrm {Ber} (Y)$