Барицентрическое подразделение

Барицентри́ческое подразделе́ние симплициального комплекса — определённый тип подразделения комплекса на более мелкие симплексы.

Четырёхкратное барицентрическое подразделение треугольника.

ОпределениеПравить

Барицентрическое подразделение симплициального комплекса $K$$K$  есть симплициальный комплекс $K^{\prime }$$K'$ , получающийся заменой симплексов комплекса $K$$K$  на более мелкие путём следующего процесса:

• каждый одномерный симплекс (отрезок) делится пополам;
• в предположении, что все симплексы размерности $⩽<!--\; ⩽\; -->n-<!--\; -\; -->1$$\leqslant n-1$  уже подразделены, разбиение любого n-мерного симплекса $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$  определяется посредством конусов над симплексами барицентрического подразделения границы $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$  с вершиной в барицентре симплекса $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$ .

СвойстваПравить

• Вершины барицентрического подразделения находятся во взаимно однозначном соответствии с симплексами исходного комплекса $K$$K$ .
• Симплексы комплекса барицентрического подразделения находятся во взаимно однозначном соответствии с упорядоченными по включению конечными наборами симплексов из $K$$K$ .
  • В частности, если $K$$K$  — n-мерный комплекс, то вершины его барицентрического подразбиения $K^{\prime }$$K'$  допускают раскраску в $n+1$$n+1$  цвет (по одному цвету на размерность соответствующего симплекса в $K$$K$ ) такую, что вершины соединённые ребром имеют разные цвета.
• Диаметр каждого симплекса барицентрического подразделения некоторого n-мерного симплекса не превосходит произведение диаметра исходного симплекса на $\frac{n}{n+1}$${\tfrac {n}{n+1}}$ .
  • В частности, повторяя операцию барицентрического подразделения, можно сколь угодно сильно уменьшить диаметр каждого симплекса в конечном комплексе.

ЛитератураПравить

• Барицентрическое подразделение // Математическая энциклопедия. Т. 1. — М.: Сов. энциклопедия, 1977. — 1152 стб.
• Allen Hatcher. . Algebraic Topology. — Cambridge: Cambridge University Press, 2002. — xii + 544 p. — ISBN 0-521-79540-0. — P. 119—121.