Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой

Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (Рекурсивный фильтр, БИХ-фильтр) или IIR-фильтр (IIR сокр. от infinite impulse response — бесконечная импульсная характеристика) — линейный электронный фильтр, использующий один или более своих выходов в качестве входа, то есть образующий обратную связь. Основным свойством таких фильтров является то, что их импульсная переходная характеристика имеет бесконечную длину во временной области, а передаточная функция имеет дробно-рациональный вид. Такие фильтры могут быть как аналоговыми, так и цифровыми.

Примерами БИХ-фильтров являются фильтр Чебышёва, фильтр Баттерворта, Фильтр Калмана и фильтр Бесселя.

ОписаниеПравить

Динамические характеристикиПравить

Разностное уравнение, описывающее дискретный БИХ-фильтр, устанавливает связь между входным и выходным сигналами во временной области:

$y(n)=b_{0}x(n)+b_{1}x(n-<!--\; -\; -->1)+\cdots <!--\; \cdots \; -->+b_{P}x(n-<!--\; -\; -->P)-<!--\; -\; -->a_{1}y(n-<!--\; -\; -->1)-<!--\; -\; -->a_{2}y(n-<!--\; -\; -->2)-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->-<!--\; -\; -->a_{Q}y(n-<!--\; -\; -->Q)$$y(n)=b_{{0}}x(n)+b_{{1}}x(n-1)+\cdots +b_{{P}}x(n-P)-a_{{1}}y(n-1)-a_{{2}}y(n-2)-\cdots -a_{{Q}}y(n-Q)$ 

где $P$$P$  порядок входного сигнала, $b_i$$b_{{i}}$  — коэффициенты входного сигнала, $Q$$Q$  — порядок обратной связи, $a_i$$a_{{i}}$  — коэффициенты обратной связи, $x(n)$$x(n)$  — входной, а $y(n)$$y(n)$  — выходной сигналы.

Более компактная запись разностного уравнения:

$y(n)=\underset{i=0}{\overset{P}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_{i}x(n-<!--\; -\; -->i)-<!--\; -\; -->\underset{k=1}{\overset{Q}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{k}y(n-<!--\; -\; -->k)$$y(n)=\sum _{{i=0}}^{P}b_{{i}}x(n-i)-\sum _{{k=1}}^{Q}a_{{k}}y(n-k)$ 

Для того, чтобы найти ядро фильтра, положим

$x(n)=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(n)$$x(n)=\delta (n)$ 

где $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(n)$$\delta (n)$  — дельта-функция.

Тогда импульсная переходная функция (ядро фильтра) записывается как

$h(n)=\underset{i=0}{\overset{P}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_i\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(n-<!--\; -\; -->i)-<!--\; -\; -->\underset{k=1}{\overset{Q}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{k}h(n-<!--\; -\; -->k)$$h(n)=\sum _{{i=0}}^{P}b_{{i}}\delta (n-i)-\sum _{{k=1}}^{Q}a_{{k}}h(n-k)$ 

Z-преобразование импульсной переходной функции даёт передаточную функцию БИХ-фильтра:

$H(z)=\frac{\underset{i=0}{\overset{P}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_i{z}^{-<!--\; -\; -->i}}{1+\underset{k=1}{\overset{Q}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k{z}^{-<!--\; -\; -->k}}$$H(z)={\frac {\sum _{{i=0}}^{P}b_{{i}}z^{{-i}}}{1+\sum _{{k=1}}^{Q}a_{{k}}z^{{-k}}}}$ 

УстойчивостьПравить

Об устойчивости фильтра с бесконечной импульсной характеристикой судят по его передаточной функции. Для дискретного фильтра необходимо и достаточно, чтобы все полюса его передаточной функции по модулю были меньше единицы (т.е. лежали внутри единичного круга на z-плоскости). Все критерии устойчивости, применимые в теории линейных стационарных систем, например критерий устойчивости Найквиста или критерий устойчивости Рауса применимы и в случае БИХ-фильтров.

В отличие от КИХ-фильтров, БИХ-фильтры не всегда являются устойчивыми.

Реализация БИХ фильтраПравить

Если рассматривается передаточная функция вида:

$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\underset{k=0}{\overset{M}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_k{z}^{-<!--\; -\; -->k}}{1+\underset{k=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k{z}^{-<!--\; -\; -->k}}=\frac{B(z)}{A(z)},$$H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{{k=0}}^{{M}}b_{{k}}z^{{-k}}}{1+\sum _{{k=1}}^{{N}}a_{{k}}z^{{-k}}}}={\frac {B(z)}{A(z)}},$ 

то соотношение между входом и выходом такой системы должно удовлетворять разностному уравнению:

$y(n)=-<!--\; -\; -->\underset{k=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}a(k)y(n-<!--\; -\; -->k)+\underset{k=0}{\overset{M}{\sum <!--\; \sum \; -->}}b(k)x(n-<!--\; -\; -->k)$$y(n)=-\sum _{k=1}^{N}a(k)y(n-k)+\sum _{k=0}^{M}b(k)x(n-k)$ 

Это уравнение может быть записано непосредственно из выражения для передаточной функции, таким образом форму построения цепи, соответствующей этому уравнению, называют прямой формой 1.

 

Прямая реализация типа 1 БИХ фильтра

При построении БИХ фильтра для простоты можно принять, что M=N. БИХ фильтры могут быть реализованы с использованием трех элементов или основных операций: умножитель, сумматор и блок задержки. Этих элементов достаточно для всех возможных цифровых фильтров. Вариант, показанный на рисунке есть прямая реализация БИХ-фильтров типа 1.

Поскольку совокупности коэффициентов b(k) и a(k) соответствуют полиномам числителя B(z) и знаменателя A(z) передаточной функции Н(z), то прямую форму БИХ-фильтра, показанную на рисунке, можно трактовать как каскадное соединение двух цепей. Первая из них реализует нули и имеет передаточную функцию B(z), а вторая — полюсы, и имеет передаточную функцию 1/A(z). Обозначив выходной сигнал первой системы w(n), разностное уравнение можно заменить системой уравнений:

$y(n)=-<!--\; -\; -->\underset{k=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}a(k)y(n-<!--\; -\; -->k)+w(n),$$y(n)=-\sum _{k=1}^{N}a(k)y(n-k)+w(n),$ 

$w(n)=\underset{k=0}{\overset{M}{\sum <!--\; \sum \; -->}}b(k)x(n-<!--\; -\; -->k)$$w(n)=\sum _{k=0}^{M}b(k)x(n-k)$ 

которая и реализована структурой, показанной на рисунке.

В дискретных системах с постоянными параметрами соотношение между входом и выходом не зависит от порядка каскадного соединения блоков. Из этого свойства вытекает вторая прямая форма построения БИХ-фильтра. Если сначала реализовать полюсы H(z) соответствующие правой части структурной схемы верхнего рисунка, которая имеет передаточную функцию 1/A(z), а после — нули передаточной функцией B(z), то получим структуру, показанную на рисунке 2, которая соответствует системе уравнений:

$w(n)=-<!--\; -\; -->\underset{k=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}a(k)w(n-<!--\; -\; -->k)+x(n),$$w(n)=-\sum _{k=1}^{N}a(k)w(n-k)+x(n),$ 

$y(n)=\underset{k=0}{\overset{M}{\sum <!--\; \sum \; -->}}b(k)w(n-<!--\; -\; -->k).$$y(n)=\sum _{k=0}^{M}b(k)w(n-k).$ 

 

Прямая реализация типа 2 БИХ фильтра (неканоническая)

Объединив линии задержки в структуре, показанной на верхнем рисунке, получим прямую каноническую форму БИХ-фильтра:

 

Прямая реализация типа 2 БИХ фильтра (каноническая)

В некоторых случаях, с точки зрения шумовых характеристик, фильтр, реализованный в прямой форме, лучше, чем в канонической.

См. такжеПравить

• Электронный фильтр
• Фильтр с конечной импульсной характеристикой
• Теорема Марелье

СсылкиПравить

• The fifth module of the BORES Signal Processing DSP course — Introduction to DSP Архивная копия от 6 июля 2012 на Wayback Machine (англ.)