Аффинное преобразование

Аффи́нное преобразование, иногда афинное преобразование (от лат. affinis «соприкасающийся, близкий, смежный») — отображение плоскости или пространства в себя, при котором параллельные прямые переходят в параллельные прямые, пересекающиеся — в пересекающиеся, скрещивающиеся — в скрещивающиеся.

красный треугольник переходит в синий при аффинном преобразовании $(x,y)\mapsto <!--\; \mapsto \; -->(y-<!--\; -\; -->100,2\cdot <!--\; \cdot \; -->x+y-<!--\; -\; -->100)$$(x,y)\mapsto (y-100,2\cdot x+y-100)$, если новые координаты отобразить в прежнем базисе

ОпределенияПравить

ГеометрическоеПравить

Биекция евклидова пространства или плоскости в себя, отображающая параллельные прямые в параллельные прямые, называется аффинным преобразованием.

АлгебраическоеПравить

Аффинное преобразование $f:<!--\; :\; -->{\mathbb{R}}^n\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^n$$f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$  есть преобразование вида

$f(x)=M\cdot <!--\; \cdot \; -->x+v,$$f(x)=M\cdot x+v,$ 

где $M$$M$  — обратимая матрица и $v\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$v\in {\mathbb {R}}^{{n}}$ .

КомментарииПравить

• Заметим, что в геометрическом определении не предполагается непрерывность. Однако непрерывность следует из определения не вполне тривиальным образом. Более того, оба определения равносильны по так называемой основной теореме аффинной геометрии.

• Заметим, что преобразование является аффинным, если его можно получить следующим образом:
  1. Выбрать «новый» базис пространства с «новым» началом координат $v$$v$ ;
  2. Каждой точке $x$$x$  пространства поставить в соответствие точку $f(x)$$f(x)$ , имеющую те же координаты относительно «новой» системы координат, что и $x$$x$  в «старой».

ПримерыПравить

Примерами аффинных преобразований являются

• движения;
• растяжения;
• преобразования подобия.

СвойстваПравить

• При аффинном преобразовании прямая переходит в прямую.
  • Если размерность пространства $n⩾<!--\; ⩾\; -->2$${n}\geqslant 2$ , то любое преобразование пространства (то есть биекция пространства на себя), которое переводит прямые в прямые, является аффинным. Это определение используется в аксиоматическом построении аффинной геометрии
• Аффинные преобразования образуют группу относительно композиции.
• Любые три точки, не лежащие на одной прямой и их образы соответственно (не лежащие на одной прямой) однозначно задают аффинное преобразование плоскости.

Типы аффинных преобразованийПравить

• Эквиаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее площадь (также сохраняется аффинная длина).
• Центроаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее начало координат.

Матричное представлениеПравить

Как и другие проективные преобразования, аффинное преобразование $f(x)=M\cdot <!--\; \cdot \; -->x+v$$f(x)=M\cdot x+v$  можно записать как матрицу перехода в однородных координатах:

${\begin{pmatrix}f(x)\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}M&v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}}$ 

Матричное представление используется, в частности, для записи аффинных преобразований в компьютерной графике. Указанная выше форма используется в OpenGL; в DirectX (где координаты представляются в виде матриц 1×4) она транспонирована.

Вариации и обобщенияПравить

• В приведённом выше определении аффинного преобразования можно использовать любое поле, а не только поле вещественных чисел $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ .
• Отображение между метрическими пространствами называется аффинным, если оно переводит геодезические в геодезические (с учётом параметризации).
• Аффинные преобразования пространства ${\mathbb{R}}^n$${\mathbb {R}}^{{n}}$  являются частным случаем проективных преобразований того же пространства. В свою очередь, проективные преобразования пространства ${\mathbb{R}}^n$${\mathbb {R}}^{{n}}$  можно представить как аффинные преобразования пространства ${\mathbb{R}}^{n+1}$$\mathbb {R} ^{n+1}$ .

См. такжеПравить

• Способ «резинового листа» (Локально-аффинная трансформация)

СсылкиПравить

• Аффинное преобразование плоскости и его матричное представление Архивная копия от 24 ноября 2007 на Wayback Machine
• Ершов А.В. Линейные и аффинные пространства и отображения Архивная копия от 3 декабря 2021 на Wayback Machine. М.: МФТИ, 2016. 69 с.