Атом (теория меры)

В теории меры, атом — это измеримое множество положительной меры, которое не содержит в себе подмножества меньшей положительной меры. Мера, не имеющая атомов, называется безатомной.

ОпределениеПравить

Если есть измеримое пространство $(X,\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->})$$(X,\Sigma )$  и мера $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  на этом пространстве, то множество $A$$A$  из $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\Sigma$  называется атомом, если

$\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(A)>0$$\mu (A)>0$ 

и для любого измеримого подмножества $B$$B$  множества $A$$A$  из

$\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(A)>\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(B)$$\mu (A)>\mu (B)$ 

следует, что

$\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(B)=0.$$\mu (B)=0.$ 

ПримерыПравить

• Рассмотрим множество X = {1, 2, ..., 9, 10}, и пусть сигма-алгебра $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\Sigma$  есть множество всех подмножеств X. Определим меру $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  множества как его мощность, т. е. количество элементов в нем. Тогда каждое одноточечное подмножество {i} для i = 1, 2, ..., 9, 10 является атомом.
• Мера Лебега на действительной прямой является безатомной.

Безатомные мерыПравить

Мера, не содержащая атомов, называется безатомной. Другими словами, мера является безатомной, если для любого измеримого множества $A$$A$  с $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(A)>0$$\mu (A)>0$  существует такое измеримое подмножество B множества A, что

$\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(A)>\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(B)>0.$$\mu (A)>\mu (B)>0.$ 

Безатомная мера с хотя бы одним положительным значением имеет бесконечное количество различных значений, т.к. начиная с множества A с мерой $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(A)>0$$\mu (A)>0$  можно построить бесконечную последовательность измеримых множеств

$A=A_1\supset <!--\; \supset \; -->A_2\supset <!--\; \supset \; -->A_3\supset <!--\; \supset \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->$$A=A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots$ 

такую, что

$\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(A)=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(A_1)>\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(A_2)>\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(A_3)>\cdots <!--\; \cdots \; -->>0.$$\mu (A)=\mu (A_{1})>\mu (A_{2})>\mu (A_{3})>\cdots >0.$ 

Это может быть неверно для мер с атомами (см. пример выше).

На самом деле оказывается, что безатомные меры имеют континуум значений. Можно доказать, что если μ является безатомной мерой, а A — это измеримое множество с $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(A)>0,$$\mu (A)>0,$  то для любого действительного числа b, удовлетворяющего условию

$\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(A)\ge <!--\; \ge \; -->b\ge <!--\; \ge \; -->0$$\mu (A)\geq b\geq 0$ 

существует измеримое подмножество B множества A, такое, что

$\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(B)=b.$$\mu (B)=b.$ 

Эта теорема была доказана Вацлавом Серпинским. Она напоминает теорему о промежуточном значении для непрерывных функций.

Набросок доказательства теоремы Серпинского для безатомных мер. Используем слегка более сильное утверждение: если есть безатомное измеримое пространство $(X,\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->},\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$$(X,\Sigma ,\mu )$  и $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(X)=c$$\mu (X)=c$ , то существует функция $S:[0,c]\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$S:[0,c]\to \Sigma$ , задающая однопараметрическое семейство измеримых множеств S(t), таких что для всех $0\le <!--\; \le \; -->t\le <!--\; \le \; -->t^{\prime }\le <!--\; \le \; -->c$$0\leq t\leq t'\leq c$ 

$S(t)\subset <!--\; \subset \; -->S(t^{\prime }),$$S(t)\subset S(t'),$ 

$\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\left(S(t)\right)=t.$$\mu \left(S(t)\right)=t.$ 

Доказательство легко следует из леммы Цорна, применённой к множеству

$\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}:=\{S:D\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}:D\subset <!--\; \subset \; -->[0,c],S\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e},\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}t\in <!--\; \in \; -->D(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\left(S(t)\right)=t)\},$$\Gamma :=\{S:D\to \Sigma \;:\;D\subset [0,\,c],\,S\;\mathrm {monotone} ,\forall t\in D\;(\mu \left(S(t)\right)=t)\},$ 

упорядоченному по включению графиков. Далее стандартным образом показывается, что всякая цепь в $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  имеет максимальный элемент, а любой максимальный элемент $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  имеет область определения $[0,c]$$[0,c]$ , что и доказывает утверждение.

См. такжеПравить

• Дельта-функция Дирака
• Элементарные события, известные также как события-атомы

СсылкиПравить

• Bruckner, Andrew M.; Bruckner, Judith B.; Thomson, Brian S. Real analysis (англ.). — Upper Saddle River, N.J.: Prentice-Hall, 1997. — P. 108. — ISBN 0-13-458886-X.

• Butnariu, Dan; Klement, E. P. Triangular norm-based measures and games with fuzzy coalitions (англ.). — Dordrecht: Kluwer Academic, 1993. — P. 87. — ISBN 0-7923-2369-6.