Атом Мошинского

Атом Мошинского — двухэлектронная задача, допускающая точное решение. Представляет собой электроны, движущиеся в гармоническом потенциале ядра при гармоническом взаимодействии между ними. Рассмотрен мексиканским физиком М. Мошинским.

ОпределениеПравить

В атомных единицах (постоянная Планка $\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}=1$$\hbar = 1$ , масса $m=1$$m=1$  и частота основного осциллятора $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=1$$\omega =1$ ) гамильтониан, определяющий атом Мошинского, запишется в виде

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}=\frac{1}{2}({\mathbf{p}}_1^2+{\mathbf{r}}_1^2)+\frac{1}{2}({\mathbf{p}}_2^2+{\mathbf{r}}_2^2)+\frac{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}{2}({\mathbf{r}}_1-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}_2{)}^2,$${\hat {H}}={\frac {1}{2}}(\mathbf {p} _{1}^{2}+\mathbf {r} _{1}^{2})+{\frac {1}{2}}(\mathbf {p} _{2}^{2}+\mathbf {r} _{2}^{2})+{\frac {\kappa }{2}}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})^{2},$ 

где, p₁, p₂, r₁, r₂ — операторы импульса и координаты для частиц с индексом 1 и 2. Первые два слагаемых представляют собой операторы кинетической и потенциальной энергии для каждого электрона, а третье слагаемое — это гармонический электрон-электронный потенциал с коэффициентом взаимодействия κ.

РешениеПравить

Энергия основного состояния равна

$E=\frac{3}{2}\left(1+\sqrt{1+2\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}\right),$$E={\frac {3}{2}}\left(1+{\sqrt {1+2\kappa }}\right),$ 

а волновая функция

$\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}({\mathbf{r}}_1,{\mathbf{r}}_2)=\frac{(2\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}+1{)}^{3/8}}{\sqrt{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^3}}\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{1}{4}\left(({\mathbf{r}}_1+{\mathbf{r}}_2{)}^2+\sqrt{2\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}+1}({\mathbf{r}}_1-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}_2{)}^2\right)\right).$$\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})={\frac {(2\kappa +1)^{3/8}}{\sqrt {\pi ^{3}}}}\exp \left(-{\frac {1}{4}}\left((\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{2})^{2}+{\sqrt {2\kappa +1}}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})^{2}\right)\right).$