Атака Винера

Атака Винера, названная в честь криптолога Майкла Дж. Винера, является типом криптографической атаки против алгоритма RSA. Атака использует метод непрерывной дроби, чтобы взломать систему при малом значении закрытой экспоненты $d$$d$.

Кратко о RSAПравить

Прежде чем начать описание того, как работает атака Винера, стоит ввести некоторые понятия, которые используются в RSA. Более подробную информацию см. в основной статье о RSA.

Для шифрования сообщений по схеме RSA используется открытый ключ - пара чисел $(e,N)$$(e,N)$ , для расшифрования - закрытый ключ $(d,N)$$(d,N)$ . Числа $e,d$$e,d$  называются открытой и закрытой экспонентой соответственно, число $N$$N$  - модулем. Mодуль $N=pq$$N=pq$ , где $p$$p$  и $q$$q$  - два простых числа. Связь между закрытой, открытой экспонентой и модулем задаётся, как $ed=1mod\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(N)$$ed=1{\bmod {\varphi }}(N)$ , где $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(N)=(p-<!--\; -\; -->1)(q-<!--\; -\; -->1)$$\varphi (N)=(p-1)(q-1)$  функция Эйлера.

Если по открытому ключу $(e,N)$$(e,N)$  за короткое время можно восстановить $d$$d$ , то ключ уязвим: получив информацию о закрытом ключе $(d,N)$$(d,N)$ , у злоумышленников появляется возможность расшифровать сообщение.

История алгоритмаПравить

Криптосистема RSA был изобретена Рональдом Ривестом, Ади Шамир и Леонардом Адлеманом и впервые опубликован в 1977 году. С момента публикации статьи криптосистема RSA была исследована на уязвимости многими исследователями. Большая часть таких атак используют потенциально опасные реализации алгоритма и пользуются явными условиями на какой-либо недочёт в алгоритме: общий модуль, малый открытый ключ, малый закрытый ключ. Так алгоритм атаки крипотографической атаки на алгоритм RSA с малым закрытым ключом был предложен криптологом Майклом Дж. Винером в статье, впервые опубликованной в 1990 году. Теорема Винера утверждает о том, что если выполняется условие малости ключа, то закрытый ключ может быть найден за линейное время.

Малый закрытый ключПравить

В криптосистеме RSA Боб может использовать меньшее значение $d$$d$ , а не большое случайное число, чтобы улучшить производительность расшифровки RSA. Однако атака Винера показывает, что выбор небольшого значения для $d$$d$  приведет к небезопасному шифрованию, в котором злоумышленник может восстановить всю секретную информацию, то есть взломать систему RSA. Этот взлом основан на теореме Винера, которая справедлива при малых значениях $d$$d$ . Винер доказал, что злоумышленник может эффективно найти $d$$d$ , когда $d<{\frac {1}{3}}N^{\frac {1}{4}}$ .

Винер также представил некоторые контрмеры против его атаки. Два метода описаны ниже:

1. Выбор большого открытого ключа :

Заменить $e$$e$  на $e^{\prime }$$e'$ , где $e^{\prime }=e+k\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(N)$$e'=e+k\cdot \varphi (N)$  для некоторого большого $k$$k$ . Когда $e^{\prime }$$e'$  достаточно велик, то есть $e^{\prime }>N^{\frac{3}{2}}$$e'>N^{\frac {3}{2}}$ , то атака Винера неприменима независимо от того, насколько мал $d$$d$ .

2. Используя китайскую теорему об остатках:

Выбрать $d$$d$  так, чтобы и $d_p=dmod(p-<!--\; -\; -->1)$$d_{p}=d{\bmod {(}}p-1)$ , и $d_q=dmod(q-<!--\; -\; -->1)$$d_{q}=d{\bmod {(}}q-1)$  были малы, но сам $d$$d$  нет, то быстрое дешифрование сообщения $C$$C$  может быть выполнено следующим образом:

1. Сначала вычисляется $M_p=C^{d_p}modp$$M_{p}=C^{d_{p}}{\bmod {p}}$  и $M_q=C^{d_q}modq$$M_{q}=C^{d_{q}}{\bmod {q}}$ 
2. Используя китайскую теорему об остатках, чтобы вычислить уникальное значение $M\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{Z}}_{\mathbb{N}}$$M\in \mathbb {Z_{N}}$ , которое удовлетворяет $M=M_{p}modp$$M=M_{p}{\bmod {p}}$  и $M=M_{q}modq$$M=M_{q}{\bmod {q}}$ . Результат $M$$M$ удовлетворяет $M=C^{d}modN$$M=C^{d}{\bmod {N}}$  как и требовалось. Дело в том, что атака Винера здесь неприменима, потому что значение $dmod\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(N)$$d{\bmod {\varphi }}(N)$  может быть большим.

См. также: RSA § Использование китайской теоремы об остатках для ускорения расшифрования

Как работает атака ВинераПравить

Поскольку

$ed=1(\mathrm{mod}\mathrm{lcm}<!--\; \; -->(p-<!--\; -\; -->1,q-<!--\; -\; -->1)))$$ed=1{\pmod {\operatorname {lcm} (p-1,q-1))}}$ ,

то существует целое $K$$K$  такое, что:

$ed=K\times <!--\; \times \; -->\mathrm{lcm}<!--\; \; -->(p-<!--\; -\; -->1,q-<!--\; -\; -->1)+1$$ed=K\times \operatorname {lcm} (p-1,q-1)+1$ .

Стоит определить $G=gcd(p-<!--\; -\; -->1,q-<!--\; -\; -->1)$$G=\gcd(p-1,q-1)$  и подставить в предыдущее уравнение:

$ed=\frac{K}{G}(p-<!--\; -\; -->1)(q-<!--\; -\; -->1)+1$$ed={\frac {K}{G}}(p-1)(q-1)+1$ .

Если обозначить $k=\frac{K}{gcd(K,G)}$$k={\frac {K}{\gcd(K,G)}}$  и $g=\frac{G}{gcd(K,G)}$$g={\frac {G}{\gcd(K,G)}}$ , то подстановка в предыдущее уравнение даст:

$ed=\frac{k}{g}(p-<!--\; -\; -->1)(q-<!--\; -\; -->1)+1$$ed={\frac {k}{g}}(p-1)(q-1)+1$ .

Разделив обе части уравнения на $dpq$$dpq$ , выходит что:

$\frac{e}{pq}=\frac{k}{dg}(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})$${\frac {e}{pq}}={\frac {k}{dg}}(1-\delta )$ , где $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}=\frac{p+q-<!--\; -\; -->1-<!--\; -\; -->\frac{g}{k}}{pq}$$\delta ={\frac {p+q-1-{\frac {g}{k}}}{pq}}$ .

В итоге, $\frac{e}{pq}$${\frac {e}{pq}}$  немного меньше, чем $\frac{k}{dg}$${\frac {k}{dg}}$ , причём первая дробь состоит целиком из публичной информации. Тем не менее, метод проверки такого предположения всё ещё необходим. Принимая во внимание, что $ed>pq$$ed>pq$  последнее уравнение может быть записано как:

$edg=k(p-<!--\; -\; -->1)(q-<!--\; -\; -->1)+g$$edg=k(p-1)(q-1)+g$ .

Используя простые алгебраические операции и тождества, можно установить точность такого предположения.

Теорема ВинераПравить

Пусть $N=pq$$N=pq$ , где $q<p<2q$ . Пусть $d<{\frac {1}{3}}N^{\frac {1}{4}}$ .

Имея $⟨N,e⟩$$\left\langle N,e\right\rangle$ , где $ed=1mod\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(N)$$ed=1{\bmod {\varphi }}(N)$ , взломщик может восстановить $d$$d$ .

Доказательство теоремы ВинераПравить

Доказательство построено на приближениях с использованием непрерывных дробей.

Поскольку $ed=1mod\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(N)$$ed=1{\bmod {\varphi }}(N)$ , то существует $\mathit{k}$${\mathit {k}}$  при котором $ed-<!--\; -\; -->k\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(N)=1$$ed-k\varphi (N)=1$ . Следовательно:

$\left|\frac{e}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(N)}-<!--\; -\; -->\frac{k}{d}\right|=\frac{1}{d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(N)}$$\left\vert {\frac {e}{\varphi (N)}}-{\frac {k}{d}}\right\vert ={\frac {1}{d\varphi (N)}}$ .

Значит, $\frac{k}{d}$${\frac {k}{d}}$  - это приближение $\frac{e}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(N)}$${\frac {e}{\varphi (N)}}$ . Несмотря на то что взломщик не знает $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(N)$$\varphi (N)$ , он может использовать $N$$N$  чтобы его приблизить. Действительно, поскольку:

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(N)=N-<!--\; -\; -->p-<!--\; -\; -->q+1$$\varphi (N)=N-p-q+1$  and $p+q-1<3{\sqrt {N}}$ , мы имеем: $\left\vert p+q-1\right\vert <3{\sqrt {N}}$  и $\left\vert N+1-\varphi (N)-1\right\vert <3{\sqrt {N}}$ 

Используя $N$$N$  вместо $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(N)$$\varphi (N)$ , получим:

$\left|\frac{e}{N}-<!--\; -\; -->\frac{k}{d}\right|=\left|\frac{ed-<!--\; -\; -->kn}{Nd}\right|=\left|\frac{ed-<!--\; -\; -->k\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(N)-<!--\; -\; -->kN+k\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(N)}{Nd}\right|$$\left\vert {\frac {e}{N}}-{\frac {k}{d}}\right\vert =\left\vert {\frac {ed-kn}{Nd}}\right\vert =\left\vert {\frac {ed-k\varphi (N)-kN+k\varphi (N)}{Nd}}\right\vert$ 

$=\left|\frac{1-<!--\; -\; -->k(N-<!--\; -\; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(N))}{Nd}\right|\le <!--\; \le \; -->\left|\frac{3k\sqrt{N}}{Nd}\right|=\frac{3k\sqrt{N}}{\sqrt{N}\sqrt{N}d}=\frac{3k}{d\sqrt{N}}$$=\left\vert {\frac {1-k(N-\varphi (N))}{Nd}}\right\vert \leq \left\vert {\frac {3k{\sqrt {N}}}{Nd}}\right\vert ={\frac {3k{\sqrt {N}}}{{\sqrt {N}}{\sqrt {N}}d}}={\frac {3k}{d{\sqrt {N}}}}$ 

Теперь, $k\varphi (N)=ed-1<ed$ , значит $k\varphi (N)<ed$ . Поскольку $e<\varphi (N)$ , значит $k\varphi (N)<ed<\varphi (N)d$ , и в итоге получается:

$k\varphi (N)<\varphi (N)d$ 

где $k<d$ 

Так как $k<d$  и $d<{\frac {1}{3}}N^{\frac {1}{4}}$ , следовательно:

$(1)\left\vert {\frac {e}{N}}-{\frac {k}{d}}\right\vert <{\frac {1}{dN^{\frac {1}{4}}}}$ 

Поскольку $d<{\frac {1}{3}}N^{\frac {1}{4}},2d<3d$ , то $2d<3d<N^{\frac {1}{4}}$ , и исходя из этого $2d<N^{\frac {1}{4}}$ , значит:

$(2)\frac{1}{2d}>\frac{1}{N^{\frac{1}{4}}}$$(2){\frac {1}{2d}}>{\frac {1}{N^{\frac {1}{4}}}}$ 

Из (1) и (2), можно заключить, что:

$\left\vert {\frac {e}{N}}-{\frac {k}{d}}\right\vert <{\frac {3k}{d{\sqrt {N}}}}<{\frac {1}{d\cdot 2d}}={\frac {1}{2d^{2}}}$ 

Смысл теоремы заключается в том, что если условие выше удовлетворено, то $\frac{k}{d}$${\frac {k}{d}}$  появляется среди подходящих дробей для непрерывной дроби числа $\frac{e}{N}$${\frac {e}{N}}$ .

Следовательно, алгоритм в итоге найдёт такое $\frac{k}{d}$${\frac {k}{d}}$ .

Описание алгоритмаПравить

Рассматривается открытый RSA ключ $(e,N)$$(e,N)$ , по которому необходимо определить закрытую экспоненту $d$$d$ . Если известно, что $d<{\frac {1}{3}}N^{\frac {1}{4}}$ , то это возможно сделать по следующему алгоритму :

1. Разложить дробь $\frac{e}{N}$${\frac {e}{N}}$  в непрерывную дробь $[a_1,a_2...]$$[a_{1},a_{2}...]$ .

2. Для непрерывной дроби $[a_1,a_2...]$$[a_{1},a_{2}...]$  найти множество всех возможных подходящих дробей $\frac{k_n}{d_n}$${\frac {k_{n}}{d_{n}}}$ .

3. Исследовать подходящую дробь $\frac{k_n}{d_n}$${\frac {k_{n}}{d_{n}}}$ :

3.1. Определить возможное значение $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(N)$$\varphi (N)$ , вычислив $f_n=\frac{e{d}_n-<!--\; -\; -->1}{k_n}$$f_{n}={\frac {ed_{n}-1}{k_{n}}}$ .

3.2. Решив уравнение $x^2-<!--\; -\; -->((N-<!--\; -\; -->f_n)+1)x+N=0$$x^{2}-((N-f_{n})+1)x+N=0$ , получить пару корней $(p_n,q_n)$$(p_{n},q_{n})$ .

4. Если для пары корней $(p_n,q_n)$$(p_{n},q_{n})$  выполняется равенство $N=p_n\cdot <!--\; \cdot \; -->q_n$$N=p_{n}\cdot q_{n}$ , то закрытая экспонента найдена $d=d_n$$d=d_{n}$ .

Если условие не выполняется или не удалось найти пару корней $(p_n,q_n)$$(p_{n},q_{n})$ , то необходимо исследовать следующую подходящую дробь $\frac{k_{n+1}}{d_{n+1}}$${\frac {k_{n+1}}{d_{n+1}}}$ , вернувшись к шагу 3.

Пример работы алгоритмаПравить

Два данных примера наглядно демонстрируют нахождение закрытой экспоненты $d$$d$ , если известен открытый ключ RSA $(e,N)$$(e,N)$ .

Для открытого ключа RSA $(e,N)=(1073780833,1220275921)$$(e,N)=(1073780833,1220275921)$ :

Таблица: нахождение закрытой экспоненты d

e/N = [0, 1, 7, 3, 31, 5, 2, 12, 1, 28, 13, 2, 1, 2, 3]
n	kn / dn	phin	pn	qn	pn qn
0	0/1	-	-	-	-
1	1/1	1073780832	-	-	-
2	7/8	1227178094	-	-	-
3	22/25	1220205492	30763	39667	1220275921

Получается, что $d=25$$d=25$ . В этом примере можно заметить, что условие малости выполняется $d<{\frac {1}{3}}N^{\frac {1}{4}}\approx 62.30074...$ .

Для открытого ключа RSA $(e,N)=(1779399043,2796304957)$$(e,N)=(1779399043,2796304957)$ :

Таблица: нахождение закрытой экспоненты d

e/N = [0, 1, 1, 1, 2, 1, 340, 2, 1, 1, 3, 2, 3, 1, 21, 188]
n	kn / dn	fn	pn	qn	pn qn
0	0/1	-	-	-	-
1	1/1	1779399042	-	-	-
2	1/2	3558798085	-	-	-
3	2/3	2669098564	-	-	-
4	5/8	2847038468	-	-	-
5	7/11	2796198496	47129	59333	2796304957

Получается, что $d=11$$d=11$ . В этом примере так же можно заметить, что условие малости выполняется $d<{\frac {1}{3}}N^{\frac {1}{4}}\approx 76.65224...$ .

Сложность алгоритмаПравить

Сложность алгоритма определяется количеством подходящих дробей для непрерывной дроби числа $\frac{e}{N}$${\frac {e}{N}}$ , что есть величина порядка $O(log(n))$$O(log(n))$ . То есть число $d$$d$  восстанавливается за линейное время от длины ключа.

ЛитератураПравить

• Rivest R., Shamir A., Adleman L. A Method for Obtaining Digital Signatures and Public-Key Cryptosystems (англ.) // Communications of the ACM. — 1978. — P. 120–126.
• Wiener M. Cryptanalysis of short RSA secret exponents (англ.) // IEEE Transactions on Information Theory. — 1990. — P. 553–558.
• Coppersmith D., Franklin M., Patarin J., Reiter M. Low-Exponent RSA with Related Messages (англ.) // Proceedings of the 15th annual international conference on Theory and application of cryptographic techniques. — 1996. — P. 1-9.
• Boneh D. Twenty Years of attacks on the RSA Cryptosystem (англ.) // Notices of the American Mathematical Society (AMS). — 1999.
• Dujella A. Continued Fractions and RSA with Small Secret Exponent (англ.) // CoRR. — 2004. — P. 1-11.
• Khaled S. Mathematical Attacks on RSA Cryptosystem (англ.) // Journal of Computer Science. — 2006. — P. 665-671.
• Render E. Wiener's Attack on Short Secret Exponents // IEEE Proceedings. — 2007. (недоступная ссылка)
• Sarkar S., Maitra S. Revisiting Wiener’s Attack - New Weak Keys in RSA (англ.) // Indian Statistical Institute. — 2008.
• Justin J., Siddhart R., Sushant P., Shriket P. Study of RSA and Proposed Variant Against Wiener's Attack (англ.) // International Journal of Computer Applications. — 2010. — P. 15-20.
• Kedmi S. Python Implementation of Wiener's Attack (англ.). — 2016.
• Stinson D. Cryptography Theory and Practice (англ.). — 2e. — A CRC Press Company, 2002. — ISBN 1-58488-206-9.
• Герман О.Н, Нестеренко Ю.В. Теоретико-числовые методы в криптографии (рус.). — 1. — ACADEMA, 2012. — ISBN 978-5-7695-6786-5.