Закон Архимеда

Зако́н Архиме́да — закон гидростатики и аэростатики: на тело, погружённое в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, численно равная весу объема жидкости или газа, вытесненного телом. Закон открыт Архимедом в III веке до н. э. Выталкивающая сила также называется архимедовой силой или гидростатической подъёмной силой (её не следует путать с аэро- и гидродинамической подъёмной силой, возникающей при обтекании тела потоком газа или жидкости).

Видеоурок: закон Архимеда

Так как сила Архимеда обусловлена силой тяжести, то в невесомости она не действует.

В соответствии с законом Архимеда для выталкивающей силы выполняется:

$F_A=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}gV,$$F_{A}=\rho gV,$

где:

• $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$ — плотность жидкости или газа, кг/м³;
• $g$$g$ — ускорение свободного падения, м/с²;
• $V$$V$ — объём части тела, погружённой в жидкость или газ, м³;
• $F_A$$F_{A}$ — сила Архимеда, Н.

ОписаниеПравить

Выталкивающая или подъёмная сила по направлению противоположна силе тяжести, прикладывается к центру тяжести объёма, вытесняемого телом из жидкости или газа.

Если тело плавает (см. плавание тел) или равномерно движется вверх или вниз, то выталкивающая или подъёмная сила по модулю равна силе тяжести, действующей на вытесненный телом объём жидкости или газа.

 

Плавание тела. Сила Архимеда ($F_A$$F_{A}$ ) уравновешивает вес тела ($F_p$$F_{p}$ ):
$F_A=F_p;$$F_{A}=F_{p};$ 
ρ_ж g V_ж = ρ_т g V_т

Например, воздушный шарик объёмом $V$$V$ , наполненный гелием, летит вверх из-за того, что плотность гелия (${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{He}$$\rho _{He}$ ) меньше плотности воздуха (${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{air}$$\rho _{air}$ ):

$F_A>F_p;$$F_{A}>F_{p};$ 
${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{air}gV>{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{He}gV.$$\rho _{air}gV>\rho _{He}gV.$ 

Закон Архимеда можно объяснить при помощи разности гидростатических давлений на примере прямоугольного тела, погруженного в жидкость или газ. В силу симметрии прямоугольного тела, силы давления, действующие на боковые грани тела, уравновешиваются. Давление ($P_A$$P_{A}$ ) и сила давления ($F_A$$F_{A}$ ), действующие на верхнюю грань тела, равны:

$P_A=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}g{h}_A;$$P_{A}=\rho gh_{A};$ 

$F_A=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}g{h}_{A}S,$$F_{A}=\rho gh_{A}S,$ 

где:

• $P_A$$P_{A}$  — давление, оказываемое жидкостью или газом на верхнюю грань тела, Па;
• $F_A$$F_{A}$  — сила давления, действующая на верхнюю грань тела и направленная вниз, Н;
• $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  — плотность жидкости или газа, кг/м³;
• $h_A$$h_{A}$  — расстояние между поверхностью жидкости или газа и верхней гранью тела, м;
• $S$$S$  — площадь горизонтального поперечного сечения тела, м².

Давление ($P_B$$P_{B}$ ) и сила давления ($F_B$$F_{B}$ ), действующие на нижнюю грань тела, равны:

$P_B=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}g{h}_B;$$P_{B}=\rho gh_{B};$ 

$F_B=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}g{h}_{B}S,$$F_{B}=\rho gh_{B}S,$ 

где:

• $P_B$$P_{B}$  — давление, оказываемое жидкостью или газом на нижнюю грань тела, Па;
• $F_B$$F_{B}$  — сила давления, действующая на нижнюю грань тела и направленная вверх, Н;
• $h_B$$h_{B}$  — расстояние между поверхностью жидкости или газа и нижней гранью тела, м.

Сила давления жидкости или газа на тело определяется разностью сил $F_B$$F_{B}$  и $F_A$$F_{A}$ :

$F_B-<!--\; -\; -->F_A=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}g{h}_{B}S-<!--\; -\; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}g{h}_{A}S=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}g\left(h_B-<!--\; -\; -->h_A\right)S=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}ghS=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}gV,$$F_{B}-F_{A}=\rho gh_{B}S-\rho gh_{A}S=\rho g\left(h_{B}-h_{A}\right)S=\rho ghS=\rho gV,$ 

где:

• $h=h_B-<!--\; -\; -->h_A$$h=h_{B}-h_{A}$  — расстояние между верхней и нижней гранями тела (в случае частичного погружения высота части тела, погружённой в жидкость или газ), м;
• $V$$V$  — объём тела, погружённого в жидкость или газ (в случае частичного погружения объём части тела, погружённой в жидкость или газ), м³.

Разница давлений:

$P_B-<!--\; -\; -->P_A=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}g{h}_B-<!--\; -\; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}g{h}_A=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}gh.$$P_{B}-P_{A}=\rho gh_{B}-\rho gh_{A}=\rho gh.$ 

В отсутствие гравитационного поля, то есть в состоянии невесомости, закон Архимеда не работает. Космонавты с этим явлением знакомы достаточно хорошо. В частности, в невесомости отсутствует явление (естественной) конвекции, поэтому, например, воздушное охлаждение и вентиляцию жилых отсеков космических аппаратов необходимо производить принудительно вентиляторами.

ОбобщенияПравить

Некий аналог закона Архимеда справедлив также в любом поле сил, которое по-разному действуют на тело и на жидкость (газ), либо в неоднородном поле. Например, это относится к полю сил инерции (например, к полю центробежной силы) — на этом основано центрифугирование. Пример для поля немеханической природы: диамагнетик в вакууме вытесняется из области магнитного поля большей интенсивности в область с меньшей.

Вывод закона Архимеда для тела произвольной формыПравить

Вывод через мысленный экспериментПравить

Если мысленно заменить погружённое в жидкость тело той же жидкостью, мысленно размещённая в том же объёме порция воды будет находиться в равновесии и действовать на окружающую воду с силой, равной силе тяжести, действующей на порцию воды. Так как перемешивания частиц воды не происходит, можно утверждать, что окружающая вода действует на выделенный объём с той же силой, но направленной в противоположном направлении, то есть с силой, равной $mg=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}gV$$mg=\rho gV$ .

Строгий расчёт силыПравить

Гидростатическое давление $p$$p$  на глубине $h$$h$ , оказываемое жидкостью с плотностью $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$  на тело, есть $p=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}gh$$p=\rho gh$ . Пусть плотность жидкости ($\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$ ) и напряжённость гравитационного поля ($g$$g$ ) — постоянные величины, а $h$$h$  — параметр. Возьмём тело произвольной формы, имеющее ненулевой объём. Введём правую ортонормированную систему координат $Oxyz$$Oxyz$ , причём выберем направление оси z совпадающим с направлением вектора $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{g}$${\vec {g}}$ . Ноль по оси z установим на поверхности жидкости. Выделим на поверхности тела элементарную площадку $dS$$dS$ . На неё будет действовать сила давления жидкости, направленная внутрь тела, $d{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}}_A=-<!--\; -\; -->pd\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{S}$$d{\vec {F}}_{A}=-pd{\vec {S}}$ . Чтобы получить силу, которая будет действовать на тело, возьмём интеграл по поверхности:

${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}}_A=-<!--\; -\; -->\underset{S}{\int <!--\; \int \; -->}pd\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{S}=-<!--\; -\; -->\underset{S}{\int <!--\; \int \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}ghd\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{S}=-<!--\; -\; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}g\underset{S}{\int <!--\; \int \; -->}hd\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{S}{=}^{\ast <!--\; \ast \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}g\underset{V}{\int <!--\; \int \; -->}\mathrm{grad}<!--\; \; -->(h)dV{=}^{\ast <!--\; \ast \; -->\ast <!--\; \ast \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}g\underset{V}{\int <!--\; \int \; -->}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_{z}dV=-<!--\; -\; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}g{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_z\underset{V}{\int <!--\; \int \; -->}dV=(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}gV)(-<!--\; -\; -->{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_z).$${\vec {F}}_{A}=-\int \limits _{S}{p\,d{\vec {S}}}=-\int \limits _{S}{\rho gh\,d{\vec {S}}}=-\rho g\int \limits _{S}{h\,d{\vec {S}}}=^{*}-\rho g\int \limits _{V}{\operatorname {grad} (h)\,dV}=^{**}-\rho g\int \limits _{V}{{\vec {e}}_{z}dV}=-\rho g{\vec {e}}_{z}\int \limits _{V}{dV}=(\rho gV)(-{\vec {e}}_{z}).$ 

При переходе от интеграла по поверхности к интегралу по объёму пользуемся обобщённой теоремой Остроградского-Гаусса.

${}^{\ast <!--\; \ast \; -->}h(x,y,z)=z;$${}^{*}h(x,y,z)=z;$ 

${}^{\ast <!--\; \ast \; -->\ast <!--\; \ast \; -->}\mathrm{grad}<!--\; \; -->h=\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}h={\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_z.$$^{**}\operatorname {grad} h=\nabla h={\vec {e}}_{z}.$ 

Получаем, что модуль силы Архимеда равен $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}gV$$\rho gV$ , и направлена сила Архимеда в сторону, противоположную направлению вектора напряжённости гравитационного поля.

Вывод через закон сохранения энергииПравить

Закон Архимеда можно также вывести из закона сохранения энергии. Работа силы, действующей со стороны погружённого тела на жидкость, приводит к изменению её потенциальной энергии:

$A=-<!--\; -\; -->F\ast <!--\; \ast \; -->(h_1-<!--\; -\; -->h_2)=-<!--\; -\; -->\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{E}_p=-<!--\; -\; -->m_{\text{ж}}g\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}h,$$\ A=-F*(h_{1}-h_{2})=-\Delta E_{p}=-m_{\text{ж}}g\Delta h,$ 

где $m_{\text{ж}}$$m_{\text{ж}}$  — масса вытесненной части жидкости, $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}h$$\Delta h$  — перемещение её центра масс. Отсюда модуль вытесняющей силы:

$F=m_{\text{ж}}g.$$\ F=m_{\text{ж}}g.$ 

По третьему закону Ньютона эта сила, равна по модулю и противоположна по направлению силе Архимеда, действующей со стороны жидкости на тело. Объём вытесненной жидкости равен объёму погруженной части тела, поэтому массу вытесненной жидкости можно записать как:

$m_{\text{ж}}={\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{\text{ж}}{V}_{\text{т}},$$\ m_{\text{ж}}=\rho _{\text{ж}}V_{\text{т}},$  где $V_{\text{т}}$$V_{\text{т}}$  — объем погружённой части тела.

Таким образом, для силы Архимеда имеем:

$F_A=F=m_{\text{ж}}g={\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{\text{ж}}g{V}_{\text{т}}.$$\ F_{A}=\ F=m_{\text{ж}}g=\rho _{\text{ж}}gV_{\text{т}}.$ 

Условие плавания телПравить

Поведение тела, находящегося в жидкости или газе, зависит от соотношения между модулями силы тяжести $F_T$$F_{T}$  и силы Архимеда $F_A$$F_{A}$ , которые действуют на это тело. Возможны следующие три случая:

• $F_T>F_A$$F_{T}>F_{A}$  — тело тонет;
• $F_T=F_A$$F_{T}=F_{A}$  — тело плавает в жидкости или газе;
• $F_{T}<F_{A}$  — тело всплывает до тех пор, пока не начнёт плавать.

Другая формулировка (где ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_t$$\rho _{t}$  — плотность тела, ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_s$$\rho _{s}$  — плотность среды, в которую тело погружено):

• ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_t>{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_s$$\rho _{t}>\rho _{s}$  — тело тонет;
• ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_t={\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_s$$\rho _{t}=\rho _{s}$  — тело плавает в жидкости или газе;
• $\rho _{t}<\rho _{s}$  — тело всплывает до тех пор, пока не начнёт плавать.

СсылкиПравить

• Архимедов закон // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Закон Архимеда // Энциклопедия «Кругосвет».