Копула

Ко́пула (лат. copula «соединение, связка») — многомерная функция распределения, определённая на $n$$n$-мерном единичном кубе $[0,1{]}^n$$[0,\;1]^{n}$, такая, что каждое её маргинальное распределение равномерно на интервале $[0,1]$$[0,\;1]$.

Кумулятивная функция распределения и плотность распределения гауссовой копулы с ρ = 0.4

Теорема Склара

Теорема Склара заключается в следующем: для произвольной двумерной функции распределения $H(x,y)$$H(x,\;y)$ с одномерными маргинальными функциями распределения $F(x)=H(x,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$F(x)=H(x,\;\infty )$ и $G(y)=H(\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},y)$$G(y)=H(\infty ,\;y)$ существует копула, такая что

$H(x,y)=C(F(x),G(y)),$$H(x,\;y)=C(F(x),\;G(y)),$

где мы отождествляем распределение $C$$C$ с его функцией распределения. Копула содержит всю информацию о природе зависимости между двумя случайными величинами, которой нет в маргинальных распределениях, но не содержит информации о маргинальных распределениях. В результате информация о маргиналах и информация о зависимости между ними отделяются копулой друг от друга.

Некоторые свойства копулы имеют вид:

$C(u,0)=C(0,v)=0,$$C(u,\;0)=C(0,\;v)=0,$

$C(u,1)=u;C(1,v)=v.$$C(u,\;1)=u;\quad C(1,\;v)=v.$

Границы Фреше—Хёфдинга для копулы Править

Минимальная копула — нижняя граница для всех копул, только в двумерном случае соответствует строго отрицательной корреляции между случайными величинами:

$W(x,y)=max(0,x+y-<!--\; -\; -->1).$$W(x,\;y)=\max(0,\;x+y-1).$ 

Максимальная копула — верхняя граница для всех копул, соответствует строго положительной корреляции между случайными величинами:

$M(x,y)=min(x,y).$$M(x,\;y)=\min(x,\;y).$ 

Архимедовы копулы Править

Одна частная простая форма копулы:

$C(x,y)={\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}(\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(x)+\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(y)),$$C(x,\;y)=\Psi ^{{-1}}(\Psi (x)+\Psi (y)),$ 

где $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$\psi$  называется функцией-генератором. Такие копулы называются архимедовыми. Любая функция-генератор, которая удовлетворяет приведённым ниже свойствам, служит основой для правильной копулы:

$\Psi (1)=0;\quad \lim _{{x\to 0}}\Psi (x)=\infty ;\quad \Psi '(x)<0;\quad \Psi ''(x)>0.$ 

Копула-произведение, также называемая независимой копулой, — это копула, которая не имеет зависимостей между переменными, её функция плотности всегда равна единице.

$\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(x)=-<!--\; -\; -->\ln <!--\; \; -->(x);C(x,y)=xy.$$\Psi (x)=-\ln(x);\quad C(x,\;y)=xy.$ 

Копула Клейтона (Clayton):

$\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(x)=x^{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}-<!--\; -\; -->1;\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->0;C(x,y)=(x^{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}+y^{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}-<!--\; -\; -->1{)}^{1/\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}.$$\Psi (x)=x^{\theta }-1;\quad \theta \leqslant 0;\quad C(x,\;y)=(x^{\theta }+y^{\theta }-1)^{{1/\theta }}.$ 

Для $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=0$$\theta =0$  в копуле Клейтона, случайные величины статистически независимы.

Подход, основанный на функциях-генераторах, может быть распространён для создания многомерных копул при помощи простого добавления переменных.

Эмпирическая копула Править

При анализе данных с неизвестным распределением, можно построить «эмпирическую копулу» путём такой свёртки, чтобы маргинальные распределения получились равномерными. Математически это можно записать так:

$C_n\left(\frac{i}{n},\frac{j}{n}\right)=\frac{1}{n}\cdot <!--\; \cdot \; -->$$C_{n}\left({\frac {i}{n}},{\frac {j}{n}}\right)={\frac {1}{n}}\cdot$  Число пар $(x,y)$$(x,y)$  таких что $x\le <!--\; \le \; -->x_{(i)}\text{ и }y\le <!--\; \le \; -->y_{(j)},1\le <!--\; \le \; -->i\le <!--\; \le \; -->n,1\le <!--\; \le \; -->j\le <!--\; \le \; -->n$$x\leq x_{{(i)}}{\text{ и }}y\leq y_{{(j)}}\,,1\leq i\leq n,1\leq j\leq n$ 

где x_(i) —представляет i-ая порядковая статистика x.

Гауссова копула Править

Гауссовы копулы широко применяются в финансовой сфере. Для n-мерного случая копула представима в виде:

$C\left[G_1(u_1),...,G_n(u_n)\right]={\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_n\left[{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}(G_1(u_1)),...,{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}(G_n(u_n));{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}\right]$$C\left[G_{1}(u_{1}),...,G_{n}(u_{n})\right]=\Phi _{n}\left[\Phi ^{-1}(G_{1}(u_{1})),...,\Phi ^{-1}(G_{n}(u_{n}));\rho _{\Phi }\right]$ ,

где:

• $G_i(u_i)$$G_{i}(u_{i})$  — частные распределения;
• ${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_n$$\Phi _{n}$  — n-мерное совместное нормальное распределение с положительно полуопределённой корреляционной матрицей ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}$$\rho _{\Phi }$  размерностью $n\times <!--\; \times \; -->n$$n\times n$ ;
• ${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}$$\Phi ^{-1}$  — обратная функция гауссовского распределения.

Применения Править

 

Примеры двумерных копул, используемых в финансах.

Моделирование зависимостей с помощью копул широко используется применительно к оцениванию финансовых рисков и в страховом анализе — например, для ценообразования обеспеченных долговых обязательств (CDOs). Кроме того, копулы также применялись к другим страховым задачам как гибкий инструмент.

См. также Править

• Независимость (теория вероятностей)

Литература Править

• Благовещенский Ю. Н. Основные элементы теории копул // Прикладная эконометрика, № 2 (26), 2012. С. 113—130.
• Clayton David G. A model for association in bivariate life tables and its application in epidemiological studies of familial tendency in chronic disease incidence. — Biometrika. — 1978. — 65. — pp. 141—151. JSTOR (subscription)
• Frees, E. W., Valdez, E. A. Understanding Relationships Using Copulas. — North American Actuarial Journal. — 1998. — 2. — pp. 1-25.
• Nelsen Roger B. An Introduction to Copulas. — Springer, 1999. — 236 p. — ISBN 0-387-98623-5.
• Rachev S., Menn C., Fabozzi F. Fat-Tailed and Skewed Asset Return Distributions. — Wiley, 2005. — 369 p. — ISBN 0-471-71886-6.
• Sklar A. Fonctions de répartition à n dimensions et leures marges. — Publications de l’Institut de Statistique de L’Université de Paris. — 1959. — 8. — pp. 229—231.

Ссылки Править

• Weisstein, Eric W. Sklar's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Примеры генерации копул в Matlab