Арбелос

Арбелос (греч. άρβυλος — сапожный нож) — плоская геометрическая фигура, образованная большим полукругом, из которого вырезаны два меньших, диаметры которых лежат на диаметре большого и разбивают его на две части. Точнее, пусть A, B и C — точки на одной прямой, тогда три полуокружности с диаметрами AB, BC и AC, расположенные по одну сторону от этой прямой, ограничивают арбелос.

Лезвие сапожного ножа похоже на арбелос.

СвойстваПравить

Теорема Паппа АлександрийскогоПравить

 

Теорема Паппа: $h_1=d_1$$h_{1}=d_{1}$ , $h_2=2d_2$$h_{2}=2d_{2}$ ,…, $h_n=n{d}_n$$h_{n}=nd_{n}$ .

Даны арбелос ABC (точка A лежит между точками B и C) и окружности ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1$$\omega _{1}$ , ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_2$$\omega _{2}$ ,…,${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_n$$\omega _{n}$  ($n\in <!--\; \in \; -->N$$n\in N$ ), причем окружность ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1$$\omega _{1}$  касается дуг AB, BC и AC, а при $n\ge <!--\; \ge \; -->2$$n\geq 2$  окружность ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_n$$\omega _{n}$  касается дуг AB и BC и окружности ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{n-<!--\; -\; -->1}$$\omega _{{n-1}}$ .

Тогда при любом натуральном $n$$n$  расстояние от центра окружности ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_n$$\omega _{n}$  до прямой BC равно произведению диаметра этой окружности на её номер $n$$n$ :

$h_n=n{d}_n$$h_{n}=nd_{n}$ .

ПлощадьПравить

 

Площадь арбелоса равна площади круга с диаметром HA.

$S=\frac{1}{4}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}|HA{|}^2$$S={\frac {1}{4}}\pi |HA|^{2}$ ,

где H — точка на окружности с диаметром BC, такая, что AH перпендикулярно BC.

ПрямоугольникПравить

Отрезок BH пересекает полуокружность BA в точке D. Отрезок CH пересекает полуокружность AC в точке E. Тогда DHEA является прямоугольником.

КасательныеПравить

Прямая DE касается полуокружности BA в точке D и полуокружности AC в точке E.

ЗамечаниеПравить

 

Две равные архимедовы окружности-близнецы (красные) в арбелосе (серый)

В «Леммах» также рассматриваются Архимедовы окружности-близнецы^[en] (см. рис.).

См. такжеПравить

• Салинон
• Цепь Паппа Александрийского
• Архимед
• Линия Шоха^[en]

ЛитератураПравить

• Mortimer Brian. The Geometry of The Arbelos. — Carleton University, 1998.
• Леон Банков. 2.6. Как Папп доказал свою теорему? // Математический цветник / Сост. и ред. Д. А. Кларнер; пер. с англ. Ю. А. Данилова; под. ред., с предисл. и прилож. И. М. Яглома. — М.: Мир, 1983. — С. 143-152.
• Жижилкин И. Д. Инверсия.. — М.: МЦНМО, 2009. — С. 25-26.