Аппроксимация Паде

Аппроксима́ция Паде́ — классический метод рациональной аппроксимации аналитических функций, названный по имени французского математика Анри Паде. Метод заключается в представлении функции в виде отношения двух полиномов, коэффициенты которых определяются коэффициентами разложения функции в ряд Тейлора. Для разложения

$f(z)=c_0+c_{1}z+c_2{z}^2+\dots <!--\; \dots \; -->$$f(z)=c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\ldots$

с помощью аппроксимации Паде можно оптимальным способом выбрать коэффициенты $a_i$$a_{i}$ и $b_i$$b_{i}$ и получить аппроксимант

$\frac{a_0+a_{1}z+\dots <!--\; \dots \; -->+a_L{z}^L}{b_0+b_{1}z+\dots <!--\; \dots \; -->+b_M{z}^M}.$${\frac {a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\ldots +b_{M}z^{M}}}.$

Использование этой простой идеи и её обобщений привело ко многим результатам и превратилось практически в фундаментальный метод исследования.

ИсторияПравить

Авторство Паде основывается на его диссертации 1892 года (копия диссертации хранится в библиотеке Корнеллского университета). В этой работе он изучил подобные аппроксимации и расположил их в таблицу, уделив при этом большое внимание экспоненциальной функции.

ОпределениеПравить

Пусть имеется разложение функции $f(z)$$f(z)$  в степенной ряд Тейлора:

$f(z)=\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_i{z}^i,$$f(z)=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}z^{i},$ 

где $c_i$$c_{i}$  — коэффициенты ряда.

Аппроксимация Паде представляет собой рациональную функцию вида

$[L/M]=\frac{a_0+a_{1}z+\dots <!--\; \dots \; -->+a_L{z}^L}{b_0+b_{1}z+\dots <!--\; \dots \; -->+b_M{z}^M},$$[L/M]={\frac {a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\ldots +b_{M}z^{M}}},$ 

разложение которой в ряд Тейлора (с центром в нуле) совпадает с разложением функции $f(z)$$f(z)$  до тех пор, пока это возможно. Функция такого вида имеет $L+1$$L+1$  коэффициентов в числителе и $M+1$$M+1$  — в знаменателе. Весь набор коэффициентов определяется с точностью до общего множителя.

Таблица ПадеПравить

Основная статья: Таблица Паде

ОбобщенияПравить

• Многоточечные аппроксимации Паде
• Аппроксимации Бейкера — Гаммеля
• Аппроксимация функции нескольких переменных
• Матричные аппроксимации Паде
• Аппроксимация Паде — Чебышёва
• Аппроксимация Паде — Фурье

БиблиографияПравить

• Jeorge A. Baker, Jr.; Peter Graves-Morris. Аппроксимации Паде = Padé approximants / пер. с англ. Е. А. Рахманова, С. П. Суетина; ред. А. А. Гончар. — М.: Мир, 1986. — 502 с. — 6400 экз.

СсылкиПравить

• Eric W. Weisstein. Padé Approximant (англ.). MathWorld. Дата обращения: 1 августа 2009.
• Бочканов С., Быстрицкий В. Паде-аппроксимация  (неопр.). Библиотека алгоритмов. Дата обращения: 1 августа 2009. Архивировано из оригинала 15 декабря 2005 года.
• Буслаев В. И. Рекуррентные соотношения и рациональные аппроксимации  (неопр.). Общеинститутский семинар «Математика и её приложения» Математического института им. В. А. Стеклова РАН (17 апреля 2008). — Видеозапись. Дата обращения: 1 августа 2009.
• Калюжный О., Коковин В. Применение аппроксимаций Паде к вибрации турбореактивного двигателя  (рус.). Дата обращения: 2012-17-12.