Аппроксимации эллиптических интегралов

Эллиптические интегралы не выражаются через элементарные функции. По определению, элементарные функции — функции, определяемые формулами, содержащими конечное число алгебраических или тригонометрических операций, производимых над аргументом, функцией и некоторыми постоянными.

Эллиптические интегралы в лежандровой форме 1-го, 2-го и 3-го родов , а также интегралы, сходные с ними (с заменой знаков плюс на минус и/или с заменой cos на sin или наоборот) точно представимы функциональным рядом. Такое представление не является элементарной функцией ввиду бесконечного числа членов этого ряда.

Руководствуясь соображениями достижения необходимой точности и, взяв в расчёт n начальных членов ряда и пренебрегая остатком, то есть суммой остальных членов ряда от n+1 до ∞, получим аппроксимацию (определённого или неопределённого) эллиптического интеграла в виде элементарной функции. Аппроксимации эллиптических интегралов применяются аналогично обычным интегралам.

Определённый интеграл 1-го рода можно представить в виде:

${\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1}^{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2}\frac{d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->k^2{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}}=\sqrt{1+E}\left(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->\frac{E\sin <!--\; \; -->2\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{4}+...\right){|}_{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1}^{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2};$$\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}={\sqrt {1+E}}\left(\varphi -{\frac {E\sin 2\varphi }{4}}+...\right){\Bigr |}_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}};$

$(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->4,2\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->6};{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}(2)\approx <!--\; \approx \; -->330).$$(\varepsilon \approx 4{,}2\cdot 10^{-6};~~\mu _{\varepsilon }(2)\approx 330).$

Здесь и далее в формулах применяются следующие обозначения:

$E=\frac{k^2}{2-<!--\; -\; -->k^2};N=\frac{h}{2+h};$$E={\frac {k^{2}}{2-k^{2}}};~~~N={\frac {h}{2+h}};$

${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0=\left|\frac{F(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}){\mid <!--\; \mid \; -->}_{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1}^{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2}-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1}^{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2}f(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{{\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1}^{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2}f(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}\right|$$\varepsilon _{0}=\left|{\frac {F(\varphi )\mid _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}-\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}f(\varphi )d\varphi }{\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}f(\varphi )d\varphi }}\right|$ — расчётная относительная погрешность вычисления эллиптических интегралов по указанным формулам для эллипсов, подобных меридиональному земному (k²=0,006693 и h=0,006674).

$\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}={\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{0max}$$\varepsilon =\varepsilon _{0max}$ — максимальная расчётная относительная погрешность соответствующей формулы в диапазоне углов $\Delta ~\varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}<{\frac {\pi }{2}}.$

${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}(m)$$\mu _{\varepsilon }(m)$ — число, указывающее, во сколько раз уменьшится максимальная расчётная относительная погрешность соответствующей формулы, если добавить $m$$m$ неуказанных членов в её формулу разложения.

Определённый интеграл 2-го рода представи́м в виде:

${\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1}^{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2}\sqrt{1-<!--\; -\; -->k^2{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\frac{1}{\sqrt{1+E}}\left(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}+\frac{E\sin <!--\; \; -->2\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{4}+...\right){|}_{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1}^{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2};$$\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}\ d\varphi ={\frac {1}{\sqrt {1+E}}}\left(\varphi +{\frac {E\sin 2\varphi }{4}}+...\right){\Bigr |}_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}};$

$(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->1,4\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->6};{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}(2)\approx <!--\; \approx \; -->500).$$(\varepsilon \approx 1{,}4\cdot 10^{-6};~~\mu _{\varepsilon }(2)\approx 500).$

Длина дуги эллипса с единичной большой полуосью:

${\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1}^{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2}\sqrt{1-<!--\; -\; -->k^2{\cos }^2<!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\frac{1}{\sqrt{1+E}}\left(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->\frac{E\sin <!--\; \; -->2\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{4}+...\right){|}_{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1}^{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2};$$\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {1-k^{2}\cos ^{2}\varphi }}\ d\varphi ={\frac {1}{\sqrt {1+E}}}\left(\varphi -{\frac {E\sin 2\varphi }{4}}+...\right){\Bigr |}_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}};$

$(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->1,4\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->6};{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}(2)\approx <!--\; \approx \; -->500).$$(\varepsilon \approx 1{,}4\cdot 10^{-6};~~\mu _{\varepsilon }(2)\approx 500).$

Определённый интеграл 3-го рода можно записать в виде:

${\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1}^{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2}\frac{d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{(1+h\cdot <!--\; \cdot \; -->{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})\sqrt{1-<!--\; -\; -->k^2{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}}=$$\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\frac {d\varphi }{(1+h\cdot \sin ^{2}\varphi ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}=$

$=\frac{\sqrt{1+E}}{2+h}\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(\frac{2+h}{\sqrt{1+h}}\mathrm{arctg}<!--\; \; -->\left(\sqrt{1+h}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{tg}<!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\right)\left(1-<!--\; -\; -->\frac{E}{2N}+...\right)+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(\frac{E}{N}+...\right)+...\right){|}_{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1}^{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2};$$={\frac {\sqrt {1+E}}{2+h}}\cdot \left({\frac {2+h}{\sqrt {1+h}}}\operatorname {arctg} \left({\sqrt {1+h}}\cdot \operatorname {tg} \varphi \right)\left(1-{\frac {E}{2N}}+...\right)+\varphi \cdot \left({\frac {E}{N}}+...\right)+...\right){\Bigl |}_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}};$

$(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->4,2\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->6};{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}(3)\approx <!--\; \approx \; -->330).$$(\varepsilon \approx 4{,}2\cdot 10^{-6};~~\mu _{\varepsilon }(3)\approx 330).$

ПримерПравить

Для вычисления длины дуги геодезической линии на поверхности земного сфероида требуется вычисление определённого интеграла вида:

${\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1}^{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2}\frac{d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{(1+h\cdot <!--\; \cdot \; -->{\cos }^2<!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})\sqrt{1-<!--\; -\; -->k^2{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}}=$$\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\frac {d\varphi }{(1+h\cdot \cos ^{2}\varphi ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}=$ 

$=\frac{\sqrt{1+E}}{2+h}\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(\frac{2+h}{\sqrt{1+h}}\text{arctg}\left(\frac{\text{tg}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\sqrt{1+h}}\right)\left(1+\frac{E}{2N}+...\right)-<!--\; -\; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\left(\frac{E}{N}+...\right)+...\right){|}_{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1}^{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2};$$={\frac {\sqrt {1+E}}{2+h}}\cdot \left({\frac {2+h}{\sqrt {1+h}}}{\text{arctg}}\left({\frac {{\text{tg}}\ \varphi }{\sqrt {1+h}}}\right)\left(1+{\frac {E}{2N}}+...\right)-\varphi \left({\frac {E}{N}}+...\right)+...\right){\Bigr |}_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}};$ 

$(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->4,2\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->6};{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}(3)\approx <!--\; \approx \; -->330).$$(\varepsilon \approx 4{,}2\cdot 10^{-6};~~\mu _{\varepsilon }(3)\approx 330).$ 

См. такжеПравить

• Численное интегрирование