Апериодическое звено

Апериодическое звено — понятие, относящееся к теории автоматического управления. Типовое динамическое звено.

Апериодическое звено первого порядкаПравить

Апериодическое звено первого порядка — одноемкостное, инерционное звено, которое можно описать дифференциальным уравнением:

$a_1\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{y}(t)+a_{0}y(t)=b_{0}x(t)$$a_1 \dot{y}(t) + a_0 y(t) = b_0 x(t)$ .

К стандартному виду приводится делением на $a_0$$a_{0}$  правой и левой части уравнения:

$T\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{y}(t)+y(t)=kx(t)$$T \dot{y}(t) + y(t) = k x(t)$ ,

где:

• $y(t)$$y(t)$  — выходная величина;
• $x(t)$$x(t)$  — входная величина;
• $k=\frac{b_0}{a_0}$$k = \frac{b_0}{a_0}$  — коэффициент усиления звена;
• $T=\frac{a_1}{a_0}$$T = \frac{a_1}{a_0}$  — постоянная времени, характеризующая инерционность звена. Чем больше постоянная времени звена, тем дольше длится переходный процесс.

Временные характеристикиПравить

Переходная функция:

$h(t)=k(1-<!--\; -\; -->{\mathrm{e}}^{-<!--\; -\; -->\frac{t}{T}})$$h(t) = k (1 - \mathrm{e}^{- \frac{t}{T}})$ 

Весовая функция:

$w(t)=\frac{k}{T}{\mathrm{e}}^{-<!--\; -\; -->\frac{t}{T}}$$w(t) = \frac{k}{T} \mathrm{e}^{- \frac{t}{T}}$ 

Передаточная функцияПравить

Передаточная функция апериодического звена 1-го порядка получается путём применения к дифференциальному уравнению свойства дифференцирования оригинала преобразования Лапласа:

$TsY(s)+Y(s)=kX(s)$$Ts Y(s) + Y(s) = k X(s)$ ,

 

АЧХ и ФЧХ апериодического звена 1-го порядка

$Y(s)[Ts+1]=X(s)k$$Y(s)[Ts + 1] = X(s) k$ .

$W(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{k}{Ts+1}$$W(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{k}{Ts + 1}$ 

Комплексная передаточная функция получается при подставлении вместо $s$$s$  комплексной переменой $j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$j\omega$ .

Чтобы разделить на мнимую и действительную часть необходимо домножить числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное число $(1-<!--\; -\; -->j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}T)$$(1 - j\omega T)$ :

$W(j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=\frac{k}{1+j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}T}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1-<!--\; -\; -->j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}T}{1-<!--\; -\; -->j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}T}=\frac{k-<!--\; -\; -->j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}Tk}{1+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{T}^2}=\frac{k}{1+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{T}^2}-<!--\; -\; -->j\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}Tk}{1+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{T}^2}$$W(j\omega)=\frac {k} {1 + j\omega T} \cdot \frac {1 - j\omega T}{1 - j\omega T}=\frac {k - j\omega T k}{1+\omega^2 T^2} = \frac {k}{1+\omega^2 T^2} - j\frac {\omega T k}{1+\omega^2 T^2}$ 

$\mathrm{R}\mathrm{e}\left\{W(j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})\right\}=\frac{k}{1+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{T}^2}$$\mathrm {Re}\left\{W(j\omega)\right\} = \frac {k}{1+\omega^2 T^2}$ 

$\mathrm{I}\mathrm{m}\left\{W(j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})\right\}=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}Tk}{1+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{T}^2}$$\mathrm {Im}\left\{W(j\omega)\right\} = - \frac {\omega T k}{1+\omega^2 T^2}$ 

 

ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена 1-го порядка

АФЧХПравить

Амплитудная и фазовая частотные характеристики для заданной передаточной функции:

$W(s)=\frac{2}{0.1s+1}$$W(s)={\frac {2}{0.1s+1}}$ 

ЛАФЧХПравить

Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики для заданной выше передаточной функции.

Из амплитудной характеристики видно, что колебания частот $\omega <{\frac {1}{T}}$  проходят через апериодическое звено 1-го порядка с отношением выходной и входной амплитуд близким к коэффициенту передачи звена $k$$k$ . Колебания частот $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}>\frac{1}{T}$$\omega >{\frac {1}{T}}$  проходят со значительным уменьшением амплитуды, следовательно «плохо пропускаются» звеном. Чем меньше постоянная времени $T$$T$ , а следовательно, чем меньше инерционность звена, тем более растянута амплитудная характеристика вдоль оси частот и больше полоса пропускания частот данного звена. Аналогично, в случае фазовой характеристики, чем меньше постоянная времени $T$$T$ , тем более растянута фазовая характеристика вдоль оси частот и меньше фазовые сдвиги между выходными и входными колебаниями. Угол отставания с увеличением частоты растет, а амплитуда колебаний на выходе падает. Предельный угол отставания равен -π/2.

После подачи на вход возмущающего воздействия отклонение выходной величины будет изменяться по экспоненте с максимальной скоростью в начальный момент. Затем скорость уменьшается до нуля, а выходная величина достигает нового установившегося значения.

В системах автоматического управления в качестве апериодического звена могут выступать двигатели постоянного тока, сопротивления и индуктивности, нагревательная камера, гидравлическая система с дросселем на выходе и др.

В целом считается, что почти любой объект управления в первом приближении, очень грубо, можно описать апериодическим звеном 1-го порядка.

Апериодическое звено второго порядкаПравить

Уравнение апериодического звена 2-го порядка имеет вид
$T_2^2\frac{d^2{x}_2}{d{t}^2}+T_1\frac{d{x}_2}{dt}+x_2=k{x}_1$$T_2^2 \frac{d^2x_2}{dt^2} + T_1 \frac{dx_2}{dt} + x_2=kx_1$ ,

Передаточная функция апериодического звена 2-го порядка:
$W(s)=\frac{k}{T_2^2{s}^2+T_{1}s+1}$$W(s) = \frac{k}{T_2^2s^2 + T_1s + 1}$ 

Два последовательно соединенных апериодических звена 1-го порядка, могут быть представлены как апериодическое звено 2-го порядка с общим коэффициентом усиления.

Примеры примененияПравить

Одним из примеров апериодического звена первого порядка является RL – цепь, где входной величиной является напряжение U1, поступающее на цепь, а в качестве выходной величины может рассматриваться ток или напряжение U2 на сопротивлении R .В первом случае коэффициент передачи k = 1 / R, а во втором k = 1 Постоянная времени звена T = L / R.

См. такжеПравить

• Система управления
• Автоматизация

ЛитератураПравить

• Бесекерский В.А., Попов Е.П. 4-е изд // Теория систем автоматического управления. — СПб.: Профессия, 2003. — 752 с. — ISBN 5-93913-035-6.
• Ким Д.П. 2-е изд // Теория автоматического управления. Т. 1. Линейные системы. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 312 с. — ISBN 978-5-9221-0857-7.