Формулы аналогии Непера

Формулы аналогии Непера в сферической тригонометрии выражают соотношения между пятью элементами сферического треугольника, удобные для решения косоугольного сферического треугольника по двум сторонам и углу между ними и по двум углам и прилежащей к ним стороне.

Сферический треугольник.

ОписаниеПравить

Формулы аналогии Непера имеют следующий вид:

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}=\frac{\cos <!--\; \; -->\frac{a-<!--\; -\; -->b}{2}}{\cos <!--\; \; -->\frac{a+b}{2}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{2}$$\operatorname {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}={\frac {\cos {\frac {a-b}{2}}}{\cos {\frac {a+b}{2}}}}\cdot \operatorname {ctg} {\frac {\gamma }{2}}$ 

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}=\frac{\sin <!--\; \; -->\frac{a-<!--\; -\; -->b}{2}}{\sin <!--\; \; -->\frac{a+b}{2}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{2}$$\operatorname {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}={\frac {\sin {\frac {a-b}{2}}}{\sin {\frac {a+b}{2}}}}\cdot \operatorname {ctg} {\frac {\gamma }{2}}$ 

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{a+b}{2}=\frac{\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}}{\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{c}{2}$$\operatorname {tg} {\frac {a+b}{2}}={\frac {\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}\cdot \operatorname {tg} {\frac {c}{2}}$ 

$\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{a-<!--\; -\; -->b}{2}=\frac{\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}}{\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{tg}<!--\; \; -->\frac{c}{2}$$\operatorname {tg} {\frac {a-b}{2}}={\frac {\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}\cdot \operatorname {tg} {\frac {c}{2}}$ 

Эти формулы считаются более удобными для решения косоугольных сферических треугольников по двум сторонам и углу между ними и по двум углам и прилежащей к ним стороне, чем формулы Деламбра. Хотя каждая из них выводится простым делением правой и левой частей одной формулы Деламбра на соответствующие части другой.

При решении косоугольного сферического треугольника по двум сторонам и углу между ними из первой и второй формул получают углы $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  и $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$ , а затем сторону $c$$c$  находят из третьей или четвёртой формулы. При решении косоугольного сферического треугольника по двум углам и прилежащей к ним стороне из третьей и четвертой формул получают стороны $a$$a$  и $b$$b$ , а затем угол $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  находят из первой или второй формулы.

СсылкиПравить

• Формулы аналогии Непера на сайте MathWorld