Александровская геометрия

Александровская геометрия — своеобразное развитие аксиоматического подхода в современной геометрии. Идея состоит в замене определённого равенства в аксиоматике евклидова пространства на неравенство.

История Править

Первое синтетическое определение ограничений на кривизну снизу и сверху дал Абрахам Вальд в своей студенческой работе написанной под руководством Карла Менгера. Эта работа была забыта вплоть до 80-ых годов.

Похожие определения были переоткрыты Александром Даниловичем Александровым. Он же дал первые значительные приложения этой теории, в частности к задачам вложения и изгибания поверхностей.

Близкое определение метрических пространств неположительной кривизной было дано почти одновременно Гербертом Буземаном.

Исследования Александрова и его учеников велись по двум основным направлениям:

• Двумерные пространства с кривизной, ограниченной снизу;
• Пространства произвольной размерности с кривизной, ограниченной сверху.
  • Гиперболичность в смысле Громова является продолжением этой теории для дискретных пространств. Оно имеет значительные приложения в теории групп.

Пространства произвольной размерности с ограниченной снизу кривизной начали изучать только в конце 90-х годов. Толчком к этим исследованиям послужила Теорема Громова о компактности. Основополагающая работа была написана Юрием Дмитриевичем Бураго, Михаилом Леонидовичем Громовым и Григорием Яковлевичем Перельманом.

Основные определения Править

Треугольник сравнения для тройки точек $xyz$$xyz$  метрического пространства $X$$X$  это треугольник $[\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{y}\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{z}]$$[{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]$  на евклидовой плоскости ${\mathbb{E}}^2$$\mathbb {E} ^{2}$  с теми же длинами сторон; то есть

${\begin{aligned}|{\tilde {x}}-{\tilde {y}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|x-y|_{X},\\|{\tilde {y}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|y-z|_{X},\\|{\tilde {z}}-{\tilde {x}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|z-x|_{X}.\end{aligned}}$ 

Угол при вершине $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}$${\tilde x}$  в треугольнике сравнения $[\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{y}\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{z}]$$[{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]$  называются углом сравнения тройки $xyz$$xyz$  и обозначаются $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\measuredangle <!--\; \measuredangle \; -->}}(x{}_z^y)$${\tilde {\measuredangle }}(x\,_{z}^{y})$ .

В геометрии Александрова рассматриваются полные метрические пространства $X$$X$  с внутренней метрикой с одним из двух следующих неравенств на 6 расстояний между 4 произвольными точками.

Первое неравенство, состоит в следующем: для произвольных 4 точек $x,y,p,q\in <!--\; \in \; -->X$$x,y,p,q\in X$  рассмотрим пару треугольников сравнения $[\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{p}\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{q}]$$[{\tilde {x}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$  и $[\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{y}\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{p}\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{q}]$$[{\tilde {y}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$  тогда для произвольной точки $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{z}\in <!--\; \in \; -->[\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{p}\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{q}]$${\tilde {z}}\in [{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$  выполняется неравенство

$|x-<!--\; -\; -->y{|}_X\le <!--\; \le \; -->|\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}-<!--\; -\; -->\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{z}{|}_{{\mathbb{E}}^2}+|\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{y}-<!--\; -\; -->\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{z}{|}_{{\mathbb{E}}^2}.$$|x-y|_{X}\leq |{\tilde {x}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}+|{\tilde {y}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}.$ 

В этом случае говорят, что пространство удовлетворяет $\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{T}[0]$$\mathrm {CAT} [0]$ -неравенству. Полное пространство, удовлетворяющие $\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{T}[0]$$\mathrm {CAT} [0]$ -неравенству, называется пространством Адамара. В случае локального выполнения этого неравенства, говорят, что пространство имеет неположительную кривизну в смысле Александрова.

Второе неравенство, состоит в следующем: для произвольных 4 точек $p,x,y,z\in <!--\; \in \; -->X$$p,x,y,z\in X$  выполняется неравенство

$\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\measuredangle <!--\; \measuredangle \; -->}}(p{}_y^x)+\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\measuredangle <!--\; \measuredangle \; -->}}(p{}_z^y)+\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\measuredangle <!--\; \measuredangle \; -->}}(p{}_x^z)\le <!--\; \le \; -->2\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}.$${\tilde {\measuredangle }}(p\,_{y}^{x})+{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{z}^{y})+{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{x}^{z})\leq 2\cdot \pi .$ 

В этом случае говорят, что пространство удовлетворяет $\mathrm{C}\mathrm{B}\mathrm{B}[0]$$\mathrm {CBB} [0]$ -неравенству или говорят, что пространство имеет неотрицательную кривизну в смысле Александрова.

Общие ограничения на кривизну Править

Вместо евклидовой плоскости можно взять пространство $\mathbb{M}[k]$$\mathbb {M} [k]$  — модельную плоскость кривизны $k$$k$ . То есть

• $\mathbb{M}[0]$$\mathbb {M} [0]$  есть евклидова плоскость,
• $\mathbb{M}[k]$$\mathbb {M} [k]$  при $k>0$$k>0$  есть сфера радиуса $1/\sqrt{k}$$1/{\sqrt {k}}$ ,
• $\mathbb{M}[k]$$\mathbb {M} [k]$  при $k<0$  есть плоскость Лобачевского кривизны $k$$k$ .

Тогда вышеприведённые определения превращаются в определения CAT[k] и CBB[k] пространств и пространств кривизной $\le <!--\; \le \; -->k$$\leq k$  и $\ge <!--\; \ge \; -->k$$\geq k$  в смысле Александрова В случае $k>0$$k>0$ , треугольник сравнения тройки $(xyz)$$(xyz)$  считается определённым если выполнено следующее неравенство

$|x-y|_{X}+|y-z|_{X}+|z-x|_{X}<2\cdot \pi /{\sqrt {k}}$ .

Основные теоремы Править

• Лемма Александрова — важное техническое утверждение об углах сравнения

• Теорема Решетняка о склеивании — позволяет конструировать CAT(k) пространства путем склеивания CAT(k) пространств по выпуклым множествам.

• Теорема Решетняка о мажоризации — даёт удобное эквивалентное определение CAT(k) пространств.

• Теорема глобализации для CAT(k) пространств, является обобщением теоремы Адамара — Картана.

• Теорема глобализации для CBB(k) пространств, является обобщением теоремы сравнения Топоногова.

Литература Править

• Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. Курс метрической геометрии. — 2004. — ISBN 5-93972-300-4.
• Лекция 5, Геометрия Александрова
• Сергей Иванов. Метрическая геометрия и пространства Александрова  (неопр.). Лекториум (10.02.11).
• Сергей Иванов. Геометрия пространств Александрова  (неопр.). Лекториум (04.07.17).
• Антон Петрунин, Александровская геометрия видео лекции
• Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali & Petrunin, Anton, Invitation to Alexandrov geometry: CAT[0] spaces, arΧiv:1701.03483 [math.DG].