Алгоритм CDCL

Алгоритм CDCL (англ. conflict-driven clause learning — «управляемое конфликтами обучение дизъюнктам») — основанный на алгоритме DPLL эффективный решатель (NP-полных) задач выполнимости булевых формул (SAT-решатель). Основная структура данных в CDCL-решателях — импликационный граф, фиксирующий назначения переменным, а другой особенностью является использование нехронологического возврата и запоминание дизъюнктов в ходе анализа конфликта.

Алгоритм был предложен Жуаном Маркесом-Сильвой (англ. João Marques Silva — версия статьи «Маркес-Сильва, Жуан» на английском языке João Marques-Silva) и Каремом Сакаллой (англ. Karem A. Sakallah) в 1996 году^[1] и независимо Роберто Байярдо (англ. Roberto J. Bayardo) и Робертом Шрагом (англ. Robert C. Schrag) в 1997 году^[2]^[3].

ОписаниеПравить

DPLL-алгоритм, лежащий в основе CDCL-алгоритма, использует поиск с возвратом на конъюнктивных нормальных формах, на каждом шаге которого происходит выбор переменной и присвоения ей значения (0 или 1) для последующего ветвления, заключающегося в присваивании значения переменной, после чего упрощённая формула проходит рекурсивную проверку на выполнимость. В случае, когда встречается конфликт, то есть, полученная формула является невыполнимой, включается механизм возврата (бэктрекинга), при котором отменяются ветвления, в которых для переменной были опробованы оба значения. Если поиск возвращается к ветвлению первого уровня, вся формула объявляется невыполнимой. Такой возврат, свойственный алгоритму DPLL, называется хронологическим^[3].

Дизъюнкты, используемые в алгоритме, делятся на выполнимые (satisfied), когда среди входящих в дизъюнкт значений есть 1, невыполнимые (unsatisfied) — все значения нулевые, единичные (unit) — все нули, кроме одной переменной, которой значение ещё не присвоено, и неразрешённые (unresolved) — все остальные. Одной из важнейших составляющих SAT-решателей является правило единичного дизъюнкта, при котором выбор переменной и её значения однозначен. (Следует напомнить, что в дизъюнкт входят как переменные, так и их отрицания.) Процедура распространения переменной (англ. unit propagation — версия статьи «Правило распространения ограничений» на английском языке unit propagation) (в современных CDCL-решателях она почти всегда основывается на правиле единичного дизъюнкта) производится после ветвления для вычисления логических следствий сделанного выбора^[3].

В дополнение к DPLL и его механизму поиска с возвратом, CDCL использует некоторые другие приёмы^[3]:

запоминание новых дизъюнктов в ходе поиска с возвратом.
использование структуры конфликтов для получения и запоминания новых дизъюнктов.
применение ленивых структур данных для представления формул.
эвристики ветвления имеют низкие затраты вычислительных ресурсов и получают обратную связь от поиска с возвратами.
периодический перезапуск поиска с возвратами.
политики удаления для выученных дизъюнктов.
другие виды оптимизации.

Схема алгоритмаПравить

С каждой переменной проверяемой на выполнимость формулы в CDCL-алгоритме связаны несколько вспомогательных значений^[3]:

значение переменных ν(v_i)∈{0,u,1} для всех переменных v_i, где u служит для обозначения ещё не назначенной переменной
уровень решения, на котором переменной было присвоено значение от −1 (не присвоено) до количества переменных.
предпосылка (antecendent) — единичный дизъюнкт формулы, на основе которого последовало значение переменной по правилу единичного дизъюнкта. Для ещё неназначенных переменных и переменных, по которым было принято решение, имеет значение None.

Схематично типичный CDCL-алгоритм можно представить следующим образом^[3]:

   Алгоритм CDCL(φ, ν)
   вход: 
     φ - формула (КНФ)
     ν - отображение значений переменных в виде множества пар
   выход:
     SAT (формула выполнима) или UNSAT (невыполнима)
   если UnitPropagationConflict(φ, ν)
   то 
     возврат UNSAT
   L := 0                                    -- уровень решения
   пока NotAllVariablesAssigned(φ, ν)
     (x, v) := PickBranchingVariable(φ, ν)   -- принятие решения
     L := L + 1
     ν := ν ∪ {(x, v)}
     если UnitPropagationConflict(φ, ν)      -- вывод последствий
     то
       β := ConflictAnalysis(φ, ν)           -- диагностика конфликта
       если β < 0
       то
         возврат UNSAT
       иначе
         Backtrack(φ, ν, β)                  -- возврат (бэктрекинг)
         L := β
   возврат SAT

В этом алгоритме использовано несколько подпрограмм, которые помимо возврата значений могут изменять и переданные им по ссылке переменные φ, ν^[3]:

UnitPropagationConflict итеративно применяет правило единичного дизъюнкта, возвращая значение Истина в случае нахождения невыполнимого дизъюнкта.
NotAllVariablesAssigned проверяет, есть ли ещё неназначенные переменные.
PickBranchingVariable выбирает переменную и назначаемое значение (1 или 0).
ConflictAnalysis анализирует возникший конфликт, запоминает новый дизъюнкт и даёт уровень решения, к которому необходимо вернуться.
Backtrack производит возврат к уровню, вычисленному в ходе анализа конфликта.

Процедура анализа конфликта является центральной для CDCL алгоритма.

Основной структурой данных, используемой в CDCL-решателях, является импликационный граф (англ. implication graph), фиксирующий назначения переменным (как в результате решений, так и применением правила единичного дизъюнкта), в котором вершины соответствуют литералам формулы, а дуги фиксируют структуру импликаций^[4]^[5].

Анализ конфликтаПравить

Процедура анализа конфликта (см. схему алгоритма) вызывается при обнаружении конфликта по правилу единичного дизъюнкта, и на её основе пополняется множество запомненных дизъюнктов. Процедура начинает с узла импликационного графа, в котором обнаружен конфликт, и охватывает уровни решения с меньшими номерами, переходя назад по импликациям пока не встречает самую свежую назначенную (в результате решения) переменную^[3]. Запомненные дизъюнкты применяются в нехронологическом возврате (англ. non-chronological backtracking) — ещё одном характерном для CDCL-решателей приёме^[6].

Для сравнения:

DPLL: нет запоминания дизъюнктов, хронологический возврат.
CDCL: запоминание дизъюнктов в результате анализа конфликтов и нехронологический возврат

Идея использования структуры импликаций, приведших к конфликту, была развита в сторону применения UIP (англ. Unit Implication Points — «точки единичной импликации»). UIP — это доминатор импликационного графа, который у этого вида графа можно вычислить за линейное время. UIP представляет собой альтернативный вариант назначения переменных и дизъюнкт, запомненный в первой такой точке, гарантированно имеет наименьший размер и обеспечивает наибольшее уменьшение уровня решения. В связи с применением эффективных ленивых структур данных, авторы многих SAT-решателей, например, Chaff, применяют метод первого UIP для запоминания дизъюнктов (англ. first UIP clause learning)^[3].

Корректность и полнотаПравить

Как и DPLL, алгоритм CDCL является корректным и полным SAT-решателем. Так, запоминание дизъюнктов не влияет на полноту и корректность, так как каждый запомненный дизъюнкт может быть выведен из начальных дизъюнктов и других запомненных дизъюнктов методом резолюции. Изменённый механизм возврата также не влияет на полноту и корректность, так как информация о возврате сохраняется в запомненном дизъюнкте^[3].

ПримерПравить

Иллюстрация работы алгоритма:

Выбор переменной для ветвления: x1. Жёлтый кружок означает произвольное решение.
По правилу единичного дизъюнкта x4 должно быть 1. Серый кружок — принудительное назначение. Получаемый граф и есть импликационный граф.
Произвольный выбор другой переменной, x3.
Применение правила единичного дизъюнкта и нахождение нового импликационного графа.
Переменные x8 и x12 с логической необходимостью принимают значения 0 и 1 соответственно.
Снова выбор переменной ветвления: x2.
Построение импликационного графа.
Ещё одна переменная: x7.
Построение импликационного графа.
Новый импликационный граф. Получен конфликт.
Нахождение разреза графа, приведшего к конфликту, и конфликтного дизъюнкта.
Нахождение дизъюнкта по отрицанию: если из a следует b, то из не-b следует не-a
Запоминание дизъюнкта.
Нехронологический возврат на соответствующий уровень решения.
Соответствующие установки значений.

ПримененияПравить

SAT-решатели на основе CDCL-алгоритма находят применение в автоматическом доказательстве теорем, криптографии, проверке моделей и тестировании аппаратного и программного обеспечения, биоинформатике, определении зависимостей в системах управления пакетами и т. п.^[3]

ПримечанияПравить

↑ J. P. Marques-Silva and K. A. Sakallah. GRASP: A new search algorithm for satisfiability. In International Conference on Computer-Aided Design, pages 220—227, November 1996.
↑ R. Bayardo Jr. and R. Schrag. Using CSP look-back techniques to solve real-world SAT instances. In National Conference on Artificial Intelligence, pages 203—208, July 1997
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ ¹¹ Conflict-Driven Clause Learning SAT Solvers, 2008.
↑ A Generalized Framework for Conflict Analysis, 2008.
↑ Hamadi, 2013.
↑ Pradhan, Harris, 2009.

ЛитератураПравить

Armin Biere, Marijn Heule, Hans van Maaren and Toby Walsch. Chapter 4. Conflict-Driven Clause Learning SAT Solvers // Handbook of Satisfiability. — IOS Press, 2008.
Matthew W. Moskewicz; Conor F. Madigan; Ying Zhao; Lintao Zhang; Sharad Malik (2001). “Chaff: Engineering an Efficient SAT Solver”. Annual ACM IEEE Design Automation Conference. pp. 530–535.
Hamadi, Y. Combinatorial Search: From Algorithms to Systems. — Springer Berlin Heidelberg, 2013. — 152 p. — ISBN 9783642414824.
Audemard, Gilles; Bordeaux, Lucas; Hamadi, Youssef; Jabbour, Saïd; Sais, Lakhdar. A Generalized Framework for Conflict Analysis. — В: Lecture Notes in Computer Science // SAT. — Springer, 2008. — 21-27 с.
Pradhan, D.K. and Harris, I.G. Practical Design Verification. — Cambridge University Press, 2009. — P. 252-254. — ISBN 9780521859721.
Järvisalo, M.; Van Gelder, A. Theory and Applications of Satisfiability Testing. — SAT 2013: 16th International Conference, Helsinki, Finland, July 8-12, 2013. Proceedings. — Springer Berlin Heidelberg, 2013. — ISBN 9783642390715.

СсылкиПравить

Marques-Silva & Mikolas Janota. CDCL SAT Solvers & SAT-Based Problem Solving (неопр.). SAT/SMT Summer School 2013, Aalto University, Espoo, Finland. (недоступная ссылка)
Masahiro Sakai. How a CDCL SAT solver works (англ.) (2012).

[1] J. P. Marques-Silva and K. A. Sakallah. GRASP: A new search algorithm for satisfiability. In International Conference on Computer-Aided Design, pages 220—227, November 1996.

[2] R. Bayardo Jr. and R. Schrag. Using CSP look-back techniques to solve real-world SAT instances. In National Conference on Artificial Intelligence, pages 203—208, July 1997

[_cd728f0664418be3-3] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ ¹¹ Conflict-Driven Clause Learning SAT Solvers, 2008.

[_19088d7b6460fcc3-4] A Generalized Framework for Conflict Analysis, 2008.

[_848f6449ec32c1cd-5] Hamadi, 2013.

[_3cc95e26a34327c5-6] Pradhan, Harris, 2009.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]