Алгоритм Прима

Алгоритм Прима — алгоритм построения минимального остовного дерева взвешенного связного неориентированного графа. Алгоритм впервые был открыт в 1930 году чешским математиком Войцехом Ярником, позже переоткрыт Робертом Примом в 1957 году, и, независимо от них, Э. Дейкстрой в 1959 году.

Описание

На вход алгоритма подаётся связный неориентированный граф. Для каждого ребра задаётся его стоимость.

Сначала берётся произвольная вершина и находится ребро, инцидентное данной вершине и обладающее наименьшей стоимостью. Найденное ребро и соединяемые им две вершины образуют дерево. Затем, рассматриваются рёбра графа, один конец которых — уже принадлежащая дереву вершина, а другой — нет; из этих рёбер выбирается ребро наименьшей стоимости. Выбираемое на каждом шаге ребро присоединяется к дереву. Рост дерева происходит до тех пор, пока не будут исчерпаны все вершины исходного графа.

Результатом работы алгоритма является остовное дерево минимальной стоимости.

Пример

Множество выбранных вершин U	Ребро (u, v)	Множество невыбранных вершин V \ U	Описание
{}		{A,B,C,D,E,F,G}	Исходный взвешенный граф. Числа возле ребер показывают их веса, которые можно рассматривать как расстояния между вершинами.
{D}	(D,A) = 5 V (D,B) = 9 (D,E) = 15 (D,F) = 6	{A,B,C,E,F,G}	В качестве начальной произвольно выбирается вершина D. Каждая из вершин A, B, E и F соединена с D единственным ребром. Вершина A — ближайшая к D, и выбирается как вторая вершина вместе с ребром AD.
{A,D}	(D,B) = 9 (D,E) = 15 (D,F) = 6 V (A,B) = 7	{B,C,E,F,G}	Следующая вершина — ближайшая к любой из выбранных вершин D или A. B удалена от D на 9 и от A — на 7. Расстояние до E равно 15, а до F — 6. F является ближайшей вершиной, поэтому она включается в дерево F вместе с ребром DF.
{A,D,F}	(D,B) = 9 (D,E) = 15 (A,B) = 7 V (F,E) = 8 (F,G) = 11	{B,C,E,G}	Аналогичным образом выбирается вершина B, удаленная от A на 7.
{A,B,D,F}	(B,C) = 8 (B,E) = 7 V (D,B) = 9 цикл (D,E) = 15 (F,E) = 8 (F,G) = 11	{C,E,G}	В этом случае есть возможность выбрать либо C, либо E, либо G. C удалена от B на 8, E удалена от B на 7, а G удалена от F на 11. E — ближайшая вершина, поэтому выбирается E и ребро BE.
{A,B,D,E,F}	(B,C) = 8 (D,B) = 9 цикл (D,E) = 15 цикл (E,C) = 5 V (E,G) = 9 (F,E) = 8 цикл (F,G) = 11	{C,G}	Здесь доступны только вершины C и G. Расстояние от E до C равно 5, а до G — 9. Выбирается вершина C и ребро EC.
{A,B,C,D,E,F}	(B,C) = 8 цикл (D,B) = 9 цикл (D,E) = 15 цикл (E,G) = 9 V (F,E) = 8 цикл (F,G) = 11	{G}	Единственная оставшаяся вершина — G. Расстояние от F до неё равно 11, от E — 9. E ближе, поэтому выбирается вершина G и ребро EG.
{A,B,C,D,E,F,G}	(B,C) = 8 цикл (D,B) = 9 цикл (D,E) = 15 цикл (F,E) = 8 цикл (F,G) = 11 цикл	{}	Выбраны все вершины, минимальное остовное дерево построено (выделено зелёным). В этом случае его вес равен 39.

Реализация

Обозначения

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $d[i]$ — расстояние от $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $i$ -й вершины до построенного дерева
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $p[i]$ — предок $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $i$ -й вершины, то есть такая вершина $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $u$ , что $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(u,i)$ легчайшее из всех рёбер, соединяющее i с вершиной из построенного дерева.
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $w(i,j)$ — вес ребра $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(i,j)$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $Q$ — приоритетная очередь вершин графа, где ключ — $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $d[i]$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $T$ — множество ребер минимального остовного дерева

Псевдокод

  $\text{[math]}$  $T\gets$   {} 
Для каждой вершины   $\text{[math]}$  $i\in V$    
  $\text{[math]}$  $d[i]\gets \infty$  
  $\text{[math]}$  $p[i]\gets nil$  
 $\text{[math]}$  $d[1]\gets 0$   
 $\text{[math]}$  $Q\gets V$   
 $\text{[math]}$  $v\gets \ Extract.Min(Q)$    

Пока  $\text{[math]}$  $Q$   не пуста
  Для каждой вершины  $\text{[math]}$  $u$   смежной с  $\text{[math]}$  $v$  
    Если  $\text{[math]}$  $u\in Q$   и  $\text{[math]}$  $w(v,u)<d[u]$    
       $\text{[math]}$  $d[u]\gets w(v,u)$  
       $\text{[math]}$  $p[u]\gets v$  
   $\text{[math]}$  $v\gets Extract.Min(Q)$  
  $\text{[math]}$  $T\gets T+(p[v],v)$

Оценка

Асимптотика алгоритма зависит от способа хранения графа и способа хранения вершин, не входящих в дерево. Если приоритетная очередь $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $Q$ реализована как обычный массив $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $d$ , то $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $Extract.Min(Q)$ выполняется за $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $O(n)$ , а стоимость операции $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $d[u]\gets w(v,u)$ составляет $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $O(1)$ . Если $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $Q$ представляет собой бинарную пирамиду, то стоимость $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $Extract.Min(Q)$ снижается до $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $O(\log n)$ , а стоимость $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $d[u]\gets w(v,u)$ возрастает до $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $O(\log n)$ . При использовании фибоначчиевых пирамид операция $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $Extract.Min(Q)$ выполняется за $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $O(\log n)$ , а $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $d[u]\gets w(v,u)$ за $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $O(1)$ .

Способ представления приоритетной очереди и графа	Асимптотика
Массив d, списки смежности (матрица смежности)	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $O(V^{2})$
Бинарная пирамида, списки смежности	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $O((V+E)\log V)=O(E\log V)$
Фибоначчиева пирамида, списки смежности	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $O(E+V\log V)$

См. также

Литература

V. Jarník: O jistém problému minimálním [About a certain minimal problem], Práce Moravské Přírodovědecké Společnosti, 6, 1930, pp. 57-63. (чешск.)
R. C. Prim: Shortest connection networks and some generalizations. In: Bell System Technical Journal, 36 (1957), pp. 1389—1401 (англ.)
D. Cheriton and R. E. Tarjan: Finding minimum imgning trees. In: SIAM Journal on Computing, 5 (Dec. 1976), pp. 724—741 (англ.)
Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Third Edition. MIT Press, 2009. ISBN 0-262-03384-4. Section 23.2: The algorithms of Kruskal and Prim, pp. 631—638. (англ.)

Ссылки

Описание и реализация Алгоритма Прима
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА: АЛГОРИТМЫ : Минимальные остовные деревья (неопр.). Дата обращения: 7 июля 2009. Архивировано из оригинала 11 января 2014 года.