Алгоритм Ли

Алгори́тм волново́й трассиро́вки (волновой алгоритм, алгоритм Ли) — алгоритм поиска пути, алгоритм поиска кратчайшего пути на планарном графе. Принадлежит к алгоритмам, основанным на методах поиска в ширину.

Результат работы волнового алгоритма (ортогональный путь)^[1]

Результат работы волнового алгоритма (ортогонально-диагональный путь)^[1]

В основном используется при компьютерной трассировке (разводке) печатных плат, соединительных проводников на поверхности микросхем. Другое применение волнового алгоритма — поиск кратчайшего расстояния на карте в компьютерных стратегических играх.

Волновой алгоритм в контексте поиска пути в лабиринте был предложен Э. Ф. Муром^[2]. Ли независимо открыл этот же алгоритм при формализации алгоритмов трассировки печатных плат в 1961 году^[3]^[4]^[5].

Описание алгоритмаПравить

Алгоритм работает на дискретном рабочем поле (ДРП), представляющем собой ограниченную замкнутой линией фигуру, не обязательно прямоугольную, разбитую на прямоугольные ячейки, в частном случае — квадратные. Множество всех ячеек ДРП разбивается на подмножества: «проходимые» (свободные), т. е при поиске пути их можно проходить, «непроходимые» (препятствия), путь через эту ячейку запрещён, стартовая ячейка (источник) и финишная (приемник). Назначение стартовой и финишной ячеек условно, достаточно — указание пары ячеек, между которыми нужно найти кратчайший путь.

Алгоритм предназначен для поиска кратчайшего пути от стартовой ячейки к конечной ячейке, если это возможно, либо, при отсутствии пути, выдать сообщение о непроходимости^[6].

Работа алгоритма включает в себя три этапа: инициализацию, распространение волны и восстановление пути.

Во время инициализации строится образ множества ячеек обрабатываемого поля, каждой ячейке приписываются атрибуты проходимости/непроходимости, запоминаются стартовая и финишная ячейки.

Далее, от стартовой ячейки порождается шаг в соседнюю ячейку, при этом проверяется, проходима ли она, и не принадлежит ли ранее меченной в пути ячейке.

Соседние ячейки принято классифицировать двояко: в смысле окрестности Мура и окрестности фон Неймана, отличающийся тем, что в окрестности фон Неймана соседними ячейками считаются только 4 ячейки по вертикали и горизонтали, в окрестности Мура — все 8 ячеек, включая диагональные.

При выполнении условий проходимости и непринадлежности её к ранее помеченным в пути ячейкам, в атрибут ячейки записывается число, равное количеству шагов от стартовой ячейки, на первом шаге это будет 1. Каждая ячейка, меченная числом шагов от стартовой ячейки, становится стартовой и из неё порождаются очередные шаги в соседние ячейки. Очевидно, что при таком переборе будет найден путь от начальной ячейки к конечной, либо очередной шаг из любой порождённой в пути ячейки будет невозможен.

Восстановление кратчайшего пути происходит в обратном направлении: при выборе ячейки от финишной ячейки к стартовой на каждом шаге выбирается ячейка, имеющая атрибут расстояния от стартовой на единицу меньше текущей ячейки. Очевидно, что таким образом находится кратчайший путь между парой заданных ячеек^[6]. Трасс с минимальной числовой длиной пути, как при поиске пути в окрестностях Мура, так и фон Неймана может существовать несколько. Выбор окончательного пути в приложениях диктуется другими соображениями, находящимися вне этого алгоритма. Например, при трассировке печатных плат — минимумом линейной длины проложенного проводника.

ПсевдокодПравить

Инициализация

Пометить стартовую ячейку 
d := 0

Распространение волны

ЦИКЛ
  ДЛЯ каждой ячейки loc, помеченной числом d
    пометить все соседние свободные непомеченные ячейки числом d + 1
  КЦ
  d := d + 1
ПОКА (финишная ячейка не помечена) И (есть возможность распространения волны)

Восстановление пути

ЕСЛИ финишная ячейка помечена
ТО
  перейти в финишную ячейку
  ЦИКЛ
    выбрать среди соседних ячейку, помеченную числом на 1 меньше числа в текущей ячейке
    перейти в выбранную ячейку и добавить её к пути
  ПОКА текущая ячейка — не стартовая
  ВОЗВРАТ путь найден
ИНАЧЕ
  ВОЗВРАТ путь не найден

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

↑ ¹ ² Иллюстрация показывает работу алгоритма в том случае, если он не останавливается после достижения целевой ячейки. По окончании работы алгоритма в каждой ячейке оказывается записано кратчайшее расстояние от стартовой ячейки.
↑ Moore E. F. The shortest path through a maze (англ.) // Proceedings of an International Symposium on the Theory of Switching (Cambridge, Massachusetts, 2–5 April 1957) — Harvard University Press, 1959. — Vol. 2. — P. 285—292. — 345 p. — (Annals of the Computation Laboratory of Harvard University; Vol. 30) — ISSN 0073-0750
↑ Lee, C.Y., «An Algorithm for Path Connections and Its Applications», IRE Transactions on Electronic Computers, vol. EC-10, number 2, pp. 364—365, 1961
↑ Cormen et al, Introduction to Algorithms, 3rd edition, p. 623
↑ Mathematics Stack Exchange Origin of the Breadth-First Search algorithm
↑ ¹ ² Волновой алгоритм поиска пути (неопр.). Дата обращения: 7 августа 2013. Архивировано 11 декабря 2013 года.

ЛитератураПравить

Максим Мозговой. Занимательное программирование: Самоучитель. — СПб.: Питер, 2004. — 208 с. — ISBN 5-94723-853-5.
Steven M. Rubin. Computer Aids for VLSI Design. — 1994.
Wai Kai Chen. The Circuits and Filters Handbook. — 2nd ed. — 2003. — С. 1372—1374. — 2961 с. — ISBN 0-8493-0912-3.
Frank Rubin. The Lee path connection algorithm // IEEE Transactions on Computers. — 1974. (недоступная ссылка)
T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, C. Stein. Introduction to Algorithms. — 3rd edition. — The MIT Press, 2009. — ISBN 978-0-262-03384-8.

СсылкиПравить

Имеется викиучебник по теме «Алгоритм Ли»

[rem-1] ¹ ² Иллюстрация показывает работу алгоритма в том случае, если он не останавливается после достижения целевой ячейки. По окончании работы алгоритма в каждой ячейке оказывается записано кратчайшее расстояние от стартовой ячейки.

[moore1959-2] Moore E. F. The shortest path through a maze (англ.) // Proceedings of an International Symposium on the Theory of Switching (Cambridge, Massachusetts, 2–5 April 1957) — Harvard University Press, 1959. — Vol. 2. — P. 285—292. — 345 p. — (Annals of the Computation Laboratory of Harvard University; Vol. 30) — ISSN 0073-0750

[lee1961-3] Lee, C.Y., «An Algorithm for Path Connections and Its Applications», IRE Transactions on Electronic Computers, vol. EC-10, number 2, pp. 364—365, 1961

[4] Cormen et al, Introduction to Algorithms, 3rd edition, p. 623

[se_origin-5] Mathematics Stack Exchange Origin of the Breadth-First Search algorithm

[byte100-6] ¹ ² Волновой алгоритм поиска пути (неопр.). Дата обращения: 7 августа 2013. Архивировано 11 декабря 2013 года.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]