Адиабатический инвариант

Адиабатический инвариант — физическая величина, которая не меняется при плавном изменении некоторых параметров физической системы — таком, что характерное время этого изменения гораздо больше характерного времени процессов, происходящих в самой системе.

Возникновение терминаПравить

Адиабатический процесс первоначально означал процесс без теплообмена с окружающей средой. Название возникло от термина «адиабатическая оболочка»(др.-греч. ἀδιάβατος — «непроходимый») — оболочка, не пропускающая тепло.

Но в середине XX века некоторые учёные (в частности, Л. Д. Ландау) стали так называть процесс, проходящий через практически равновесные состояния, то есть достаточно медленно и плавно. Сейчас такой процесс называют квазистатическим или равновесным. Исторически название «адиабатический инвариант» появилось по аналогии с таким термодинамическим процессом.

В настоящее время слово «адиабатический» снова используется в первоначальном значении («процесс без теплообмена со средой»), но термин «адиабатический инвариант» уже устоялся.

Классическая механикаПравить

В классической механической системе, которая осуществляет периодическое движение с периодом $T$$T$  и зависит от параметра $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ , адиабатичность изменения параметра определяется условием

$T\frac{d\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{dt}\ll <!--\; \ll \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$T{\frac {d\lambda }{dt}}\ll \lambda$ .

Функция Гамильтона системы зависит от её внутренних переменных и параметра

$\mathcal{H}=\mathcal{H}(q,p,t,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$${\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(q,p,t,\lambda )$ 

Внутренние переменные $q$$q$  и $p$$p$  меняются со временем быстро, с периодом $T$$T$ . Но энергия системы $E$$E$  является интегралом движения при неизменном параметре $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ . При изменении параметра во времени

$\frac{dE}{dt}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathcal{H}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\frac{d\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{dt}$${\frac {dE}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \lambda }}{\frac {d\lambda }{dt}}$ .

При усреднении этого выражения по времени в течение периода можно считать, что параметр $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  неизменен.

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\frac{dE}{dt}}=\frac{d\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{dt}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathcal{H}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}$${\overline {\frac {dE}{dt}}}={\frac {d\lambda }{dt}}{\overline {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \lambda }}}$ ,

где усреднение определено как

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathcal{H}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}}=\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathcal{H}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}dt$${\overline {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \lambda }}}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \lambda }}\,dt$ .

Удобно перейти от интегрирования по времени к интегрированию по переменной $q$$q$ :

$dt=\frac{dq}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathcal{H}/\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}p}$$dt={\frac {dq}{\partial {\mathcal {H}}/\partial p}}$ .

В таком случае период $T$$T$  равен

$T=\oint <!--\; \oint \; -->\frac{dq}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathcal{H}/\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}p}$$T=\oint {\frac {dq}{\partial {\mathcal {H}}/\partial p}}$ ,

где интегрирование проводится вперёд и назад в пределах изменения координаты за период движения.

Записывая импульс как функцию энергии $E$$E$ , координаты $q$$q$  и параметра, после некоторых преобразований можно получить

$\oint <!--\; \oint \; -->\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}p}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}E}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}E}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}p}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\frac{d\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{dt}\right)dq=0$$\oint \left({\frac {\partial p}{\partial E}}{\overline {\frac {\partial E}{\partial t}}}+{\frac {\partial p}{\partial \lambda }}{\frac {d\lambda }{dt}}\right)\,dq=0$ .

Окончательно можно записать

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\frac{dI}{dt}}=0$${\overline {\frac {dI}{dt}}}=0$ ,

где величина

$I=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\oint <!--\; \oint \; -->pdq$$I={\frac {1}{2\pi }}\oint p\,dq$ 

и будет адиабатическим инвариантом.

Интеграл, входящий в полученное выражение, приобретает простой геометрический смысл, если обратиться к представлению о фазовом пространстве и фазовой траектории системы в нём. В рассматриваемом случае система имеет одну степень свободы, поэтому фазовое пространство представляет собой фазовую плоскость, образуемую множеством точек с координатами $p$$p$  и $q$$q$ . Поскольку система совершает периодическое движение, то её фазовая траектория является замкнутой кривой на этой плоскости, соответственно, интеграл берётся вдоль этой замкнутой кривой. В итоге следует, что интеграл $\oint <!--\; \oint \; -->pdq$$\oint p\,dq$  равен площади фигуры, ограниченной фазовой траекторией системы.

Площадь можно выразить и в виде двумерного интеграла, тогда для адиабатического инварианта будет выполняться

$I=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\int <!--\; \int \; -->dpdq$$I={\frac {1}{2\pi }}\int dp\,dq$ .

Пример. Гармонический осцилляторПравить

Рассмотрим в качестве примера одномерный гармонический осциллятор. Функция Гамильтона такого осциллятора имеет вид

$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{m{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{q}^2}{2}$$H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}q^{2}}{2}}$ ,

где $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  — собственная (циклическая) частота осциллятора. Уравнение фазовой траектории в данном случае определяется законом сохранения энергии $H(p,q)=E$$H(p,q)=E$  и поэтому имеет вид

$\frac{p^2}{2m}+\frac{m{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{q}^2}{2}=E$${\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}q^{2}}{2}}=E$ .

Из уравнения видно, что траектория представляет собой эллипс с полуосями $\sqrt{2mE}$${\sqrt {2mE}}$  и $\sqrt{2E/m{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}$${\sqrt {2E/m\omega ^{2}}}$ , соответственно его площадь, делённая на $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$ , равна $\frac{E}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$${\frac {E}{\omega }}$ . Таким образом, величина $I=\frac{E}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$$I={\frac {E}{\omega }}$  является адиабатическим инвариантом для гармонического осциллятора. Отсюда следует, что в тех случаях, когда параметры осциллятора изменяются медленно, его энергия изменяется пропорционально частоте.

Свойства адиабатического инвариантаПравить

Производная от адиабатического инварианта по энергии равна периоду, разделённому на $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$ .

$2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}I}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}E}=T$$2\pi {\frac {\partial I}{\partial E}}=T$ ,

или

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}E}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}I}=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$${\frac {\partial E}{\partial I}}=\omega$ ,

где $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  — циклическая частота.

С помощью канонических преобразований можно сделать адиабатический инвариант новой переменной, которая называется переменной действия. В новой системе переменных она играет роль импульса. Канонически сопряженная к ней переменная называется угловой переменной.

ЛитератураПравить

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — Издание 4-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 199—202. — 215 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-02-013850-9.
• Котельников И. А. Лекции по физике плазмы. Том 1: Основы физики плазмы. — 3-е изд. — СПб.: Лань, 2021. — 400 с. — ISBN 978-5-8114-6958-1.