Автономная система дифференциальных уравнений

Автономная система дифференциальных уравнений (другое название: стационарная система дифференциальных уравнений) — частный случай системы дифференциальных уравнений, когда аргумент $t$$t$ системы не входит явным образом в функции, задающие систему.

Автономная система в нормальном виде (её также называют динамической системой) имеет вид:

$\frac{d{x}_k}{dt}=f_k(x_1,...,x_n),k=1,...,n$${\frac {dx_{k}}{dt}}=f_{k}(x_{1},...,x_{n}),\,k=1,...,n$

или в векторной записи:

$\frac{d\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}}{dt}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{f}(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x})$${\frac {d{\bar {x}}}{dt}}={\bar {f}}({\bar {x}})$

Приведение к автономному видуПравить

Любую систему дифференциальных уравнений можно свести к автономной, введя дополнительную вспомогательную функцию $x_{n+1}$$x_{{n+1}}$ , заменив ею аргумент $t$$t$  там, где он входит явно, и дополнив систему ещё одним уравнением $\frac{d{x}_{n+1}}{dt}=1$${\frac {dx_{n+1}}{dt}}=1$ . Такая замена, однако, имеет преимущественно теоретическое значение, так как увеличивает размерность системы с $n$$n$  на $n+1$$n+1$ , что усложняет структуру семейства решений. Встречается, впрочем, и практический интерес такой замены. В численных методах для жестких систем бывает удобно перейти к аргументу «длина дуги», это производится следующим соотношением $dl=\sqrt{d{t}^2+\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}d{x}_i^2}$$dl={\sqrt {dt^{2}+\sum \limits _{i=1}^{n}dx_{i}^{2}}}$ , которое, фактически, является длиной дуги интегральной кривой в n+1-мерном пространстве.

Свойства автономной системыПравить

Если $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}(t)$${\bar {x}}={\bar {x}}(t)$  — решение автономной системы дифференциальных уравнений (в векторном виде), то эта функция остаётся решением и при сдвиге аргумента. Автономная система моделирует автономные процессы, то есть процессы, не подверженные внешним влияниям, и стационарные процессы, то есть процессы, установившиеся во времени. Все эти процессы полностью определяются начальными значениями переменных состояния, то есть $x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n$$x_1,\dots,x_n$ , и не зависят от выбора начального значения аргумента $t$$t$ .

См. такжеПравить

• Однородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
• Однозначная разрешимость задачи Коши для системы линейных дифференциальных уравнений
• Отклонение решений автономной системы

СсылкиПравить

• В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения.