Абелев интеграл

А́белев интеграл — интеграл от алгебраической функции вида

$\underset{z_0}{\overset{z_1}{\int <!--\; \int \; -->}}R(z,w)dz,$$\int \limits _{z_{0}}^{z_{1}}R(z,w)\,dz,$

где $R(z,w)$$R(z,w)$ — любая рациональная функция от переменных $z$$z$ и $w,$$w,$ связанных алгебраическим уравнением

$F(z,w)=a_0(z)w^n+a_1(z)w^{n-<!--\; -\; -->1}+\dots <!--\; \dots \; -->+a_n(z)=0$$F(z,w)=a_{0}(z)w^{n}+a_{1}(z)w^{n-1}+\ldots +a_{n}(z)=0$

с целыми рациональными по $z$$z$ коэффициентами $a_j(z),j=0,1,\dots <!--\; \dots \; -->,n.$$a_{j}(z),\ j=0,1,\dots ,n.$ Этому уравнению соответствует компактная риманова поверхность $F,$$F,$ $n$$n$-листно накрывающая сферу Римана, на которой $z,w,$$z,w,$ а следовательно и $R(z,w),$$R(z,w),$ рассматриваемые как функции точки поверхности $F,$$F,$ однозначны.

ЛитератураПравить

• Спрингер Дж. Глава 10 // Введение в теорию римановых поверхностей / Перевод с английского. — М., 1960.
• Чеботарёв Н. Г. Глава 8, 9 // Теория алгебраических функций. — М.: Л., 1948.
• Bliss G. A. Algebraic functions. — N. Y., 1966.

См. такжеПравить

• Алгебраическая функция
• Интегральное преобразование Абеля