Формализм Арновитта — Дезера — Мизнера

Формализм Арновитта — Дезера — Мизнера, АДМ-формализм (англ. ADM formalism) — разработанная в 1959 году Ричардом Арновиттом^[en], Стенли Дезером и Чарльзом Мизнером гамильтонова формулировка общей теории относительности. Она играет важную роль в квантовой гравитации и численной относительности.

Ричард Арновитт^[en], Стенли Дезер и Чарльз Мизнер на конференции ADM-50: A Celebration of Current GR Innovation, в честь 50-летия их основной работы, ноябрь 2009 года.

Основной обзор формализма под названием «Динамика общей теории относительности» (англ. The Dynamics of General Relativity) был опубликован его авторами в сборнике «Gravitation: An introduction to current research» под редакцией Луиса Виттена, Wiley NY (1962); chapter 7, pp. 227–265, русский перевод был опубликован в 1967 году в Эйнштейновском сборнике. Эта статья была в 2008 году перепечатана в журнале General Relativity and Gravitation в серии классических работ по гравитации Исходные работы авторов выходили в Physical Review.

ОбзорПравить

Формализм предполагает, что пространство-время можно расслоить на совокупность пространственноподобных 3-мерных гиперповерхностей ${\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}}_t$$\Sigma _{t}$ , которые нумеруются при помощи временной координаты $t$$t$ , а на каждой гиперповерхности вводятся пространственные координаты $x^i$$x^i$ . Динамическими переменными формализма оказываются в таком случае: метрический тензор на этих гиперповерхностях ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{ij}(t,x^k)$$\gamma _{ij}(t,x^{k})$  и сопряжённый с ним тензор канонических импульсов ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{ij}(t,x^k)$$\pi ^{ij}(t,x^{k})$ . Из этих переменных выражается гамильтониан, соответствующий уравнениям Эйнштейна, и таким образом, уравнения движения общей теории относительности оказываются записанными в гамильтоновой форме.

Кроме 12 переменных ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_{ij}$$\gamma _{ij}$  и ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{ij}$$\pi ^{ij}$  (трёхмерные симметричные тензоры содержат по 6 компонент), в формализме присутствуют 4 лагранжевых множителя: функции хода (англ. the lapse function) $N$$N$ , и функции сдвига — компоненты 3-вектора (англ. shift vector field) $N_i$$N_{i}$ . Они описывают, как точки $x^i=const$$x^{i}=const$  на соседних слоях ${\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}}_t,t=const$$\Sigma _{t},t=const$  связаны между собой. Уравнения движения для этих переменных можно выбрать произвольно, что соответствует свободе выбора координатной системы для описания пространства-времени.

ВыводПравить

ОбозначенияПравить

Большинство литературы применяет обозначения, в которых четырёхмерные тензоры записываются в абстрактной индексной нотации, причём греческие индексы являются пространственно-временными и принимают значения (0, 1, 2, 3), а латинские индексы являются пространственными и принимают значения (1, 2, 3). В выводе пространственно-временные объекты, которые имеют также и трёхмерные аналоги, будут для различения обозначаться предшествующим верхним индексом (4), например, метрический тензор на трёхмерном слое будет обозначаться $g_{ij}$$g_{ij}$ , а полная пространственно-временная метрика будет обозначаться как ${}^{(4)}{g}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}$${^{(4)}}g_{\mu \nu }$ .

ЛитератураПравить

• Kiefer, Claus. Quantum Gravity (англ.). — Oxford, New York: Oxford University Press, 2007. — ISBN 978-0-19-921252-1.